Die Themenseite enthält oftmals anspruchsvolle Aufgaben zu einem einzigen, interessanten Thema. Die mathematischen Inhalte werden dabei miteinander verbunden. Die Doppelseite Das kann ich! hat verschiedene Teile: Im ersten Teil fi ndet ihr Aufgaben, die ihr alleine löst. Anschließend bewertet ihr euch selbst. Die Lösungen dazu stehen im Internet. Näheres fi ndet ihr auf den Seiten selbst. Die Aufgaben sind einfach gehalten, ihr solltet also einen Großteil davon gut schaffen. Der zweite Teil enthält „Diskussionsaufgaben“: Bezieht Stellung zu den Behauptungen und begründet oder widerlegt sie. Anschließend vergleicht ihr eure Ergebnisse mit einem Partner. Mithilfe der Tabelle könnt ihr prüfen, was ihr gut könnt und wo ihr noch üben müsst. Ihr fi ndet auch Seitenverweise zum Nacharbeiten. 226 2279.5 Themenseite: Bestimmung von / mit der Monte-Carlo-Methode a) Erläutere das abgebildete Tabellenblatt. Wie wird mittels der Koordinaten eines Zufallspunkts P entschieden, ob P auf dem Viertelkreis liegt oder nicht? b) Erstelle ein Tabellenblatt und bestimme einen Näherungswert für /. c) Erläutere das Diagramm in Abhängigkeit von der Punkteanzahl. Nimm Stellung zur Aussage: Der Wert für / wird „immer besser“. Überprüfe selbst mithilfe des Tabellenblattes. / experimentell bestimmen In Monte-Carlo, einer Stadt im Fürstentum Monaco, steht eines der berühmtesten Spielcasinos der Welt. Spielcasinos sind Orte des Zufalls – und so verwundert es nicht, dass eine mathematische Simulation, bei der Zufallszahlen zum Einsatz kommen, nach dieser Stadt benannt ist. Mit der Monte-Carlo-Methode kannst du zum Beispiel den Flächeninhalt von Kreisen bzw. einen Näherungswert für die Kreiszahl / bestimmen. Die Idee ist, den Flächeninhalt des Kreises gegenüber dem des umschriebenen Quadrats abzuschätzen. Lass dazu Reiskörner zufällig auf das Quadrat regnen. Die Anzahl der Körner, die im Inneren des Kreises liegen, verhält sich zu der Gesamtzahl der Körner wie die Fläche des Kreises zu der des Quadrats. AKreis = / · r 2 AQuadrat = 4 · r 2 Die relative Häufi gkeit der Körner (Punkte) im Inneren des Kreises ist also ein Schätzwert für /__ 4 . a) Bastle eine Schachtel mit quadratischer Grundfl äche. Zeichne einen Kreis so ein, dass sein Rand die Quadratseiten berührt. Bestimme einen Näherungswert für /. Führe dazu das Experiment mit 100 Reiskörnern 20-mal durch und berechne den Mittelwert. Beachte: Körner auf der Kreislinie gehören zum Kreis. Tipp: Um dir das Abzählen der Körner zu ersparen, kannst du sie auch wiegen. b) Führe dazu das Zufallsexperiment mit einem Viertelkreis durch und nimm statt Reiskörnern 100 Reißnägel. Was ändert sich in der Berechnung für /? Gib die Abweichung deiner Näherungs lösung vom Taschenrechner-Wert von / in Prozent an. AKreis _____ AQuadrat = / · r 2 ____ 4 · r2 = /__ 4 r 1 y 1 x 1 x y P(x | y) 1 y 1 P 1 x P 2 / mit dem örtlichen Telefonbuch bestimmen In einem Telefonbuch werden die letzten beiden Ziffern der Telefonnummern von x aufeinander folgenden Personen betrachtet (auf die ersten Ziffern muss verzichtet werden, da diese in einem Telefonbezirk einen charakteristischen Wert besitzen, wodurch sie keinen Zufallszahlcharakter mehr besitzen): a) Ermittle von einer beliebigen Seite eines Telefonbuchs aus 40 aufeinander folgenden Telefon nummern 20 Zufallspunkte. b) Bestimme mit diesen Punkten analog zum oben angeführten Experiment einen Näherungswert für /, indem du prüfst, ob die Punkte auf dem Viertelkreis liegen oder nicht. c) Gib die Abweichung deiner Näherungslösung vom Taschenrechnerwert von / an. Person Endziffern der Telefonnummer Daraus resultierender Punkt P 1 …4356 P1 (0,56 | 0,78)2 …2778 3 …9214 P2 (0,14 | 0,07)4 …1807 … … … P (x | y) y 1 x / mit einem Tabellenprogramm bestimmen Das Zufallsexperiment kann auch durch Punkte, deren Koordinaten Zufallszahlen zwischen 0 und 1 sind, simuliert werden. Die Zufallszahlen können mit einem Tabellenkalkulationsprogramm ( Befehl in Excel: =Zufallszahl() ) oder mittels CAS erzeugt werden. 228 229 Das k nn ich! 8 Übertrage die Tabelle in dein Heft. Berechne die gesuchten Kreisteile. 9 Die Radien eines Kreisrings betragen R = 7,5 cm und r = 5,8 cm. Berechne den Flächeninhalt des Kreisrings. 10 Um ein kreisförmiges Rosenbeet mit einem Durchmesser von 7,20 m soll ein Rasenstreifen von 60 cm Breite angesät werden. a) Fertige eine Skizze an. b) Berechne den Flächeninhalt des Rasenstreifens. c) Der Rasenstreifen soll innen und außen von Steinen eingegrenzt werden. Für welche Länge müssen insgesamt Steine bereitgestellt werden? 11 Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt eines Kreises größer als der Flächeninhalt eines Quadrats, das den gleichen Umfang wie der Kreis hat? 12 Bestimme den Mittelpunktswinkel eines Kreissektors, der den gleichen Flächeninhalt hat wie ein Quadrat über dem Radius des Kreissektors. 13 Ein geostationärer Satellit steht relativ zur Erdoberfl äche gesehen immer an der gleichen Stelle. Berechne für einen mittleren Erdumfang von 40 024 km die Tangential länge t. Überprüfe deine Fähigkeiten und Kenntnisse. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten fi ndest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen fi ndest du unter www.ccbuchner.de/medien (Eingabe 8439-02). Aufgaben zur Einzelarbeit 1 Berechne Umfang und Flächeninhalt der Kreise. a) r = 5,7 cm b) r = 2,5 cm c) r = 18 mm d) r = 0,15 km e) d = 6,2 cm f) d = 1,91 km 2 Berechne den Radius und den Flächeninhalt der Kreise. a) u = 165 m b) u = 2 km c) u = 9 m d) u = 7,4 dm e) u = 40 000 km f) u = 2/ m 3 Berechne den Radius und den Umfang der Kreise. a) A = 548 cm2 b) A = 2 m2 c) A = 19,625 a d) A = 7,7 km2 e) A = 47 ha f) A = 3,14 km2 4 Welchen Durchmesser und welche Querschnittsfl äche hat ein Baumstamm von 94 cm (20,5 dm; 3,78 m) Umfang? 5 Berechne den Durchmesser eines Leitungsdrahtes mit einer Querschnitts fl äche von 1 cm2 (80 mm2; 34 mm2). 6 Berechne Flächeninhalt und Umfang eines Kreises mit r = 8 cm. Innerhalb welcher Grenzen liegt das Ergebnis, wenn mit zwei (drei) gültigen Stellen von / gerechnet wird? 7 Berechne die fehlenden Größen für Kreissektoren. Runde auf eine Dezimale. . / Das kann ich! Das kann ich fast! Das kann ich noch nicht! Arbeitsschritte 1 Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. 2 Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. 3 Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. 18 Die Kreiszahl / lässt sich als Bruch darstellen. 19 Radius und Umfang eines Kreises sind zueinander proportional. 20 Durchmesser und Flächeninhalt eines Kreises sind zueinander proportional. 21 Das Maß des Mittelpunktswinkels ist direkt proportional zur Länge des zugehörigen Kreisbogens. 22 Der Umfang des Kreissektors ist genauso groß wie die Summe des zugehörigen Kreisbogens und des Kreisdurchmessers. 23 Zur Berechnung des Flächeninhalts des Kreissektors benötigt man keinen Mittelpunktswinkel. 24 Verdoppelt man sowohl den Innenals auch den Außenradius eines Kreisrings, so verdoppelt sich die Kreisringfl äche. 25 Die Fläche des Kreissegments ist direkt proportional zur zugehörigen Kreissektorfl äche. 26 Das Maß des Mittelpunktswinkels ist direkt proportional zur Fläche des zugehörigen Kreissegments. 9.6 Das kann ich! Aufgabe Ich kann … Hilfe 1, 3, 4, 6, 11, 14, 15, 17, 19, 20 am Kreis Flächeninhalt bzw. Umfang bestimmen und Zusammenhänge erkennen. S. 216 2, 3, 4, 5, 13 am Kreis den Radius aus Flächeninhalt bzw. Umfang bestimmen. S. 216 7, 8, 12, 21, 22, 23 fehlende Kreisgrößen am Kreisbogen und -sektor berechnen. S. 218 9, 10, 16, 24 fehlende Größen am Kreisring ermitteln. S. 220 25, 26 Größen von einfachen Kreissegmenten berechnen. S. 220 14 Einräder kann man in den Größen 16, 18 und 20 Zoll kaufen (1 Zoll = 2,54 cm). Wie viele Umdreh ungen macht ein solches Einrad dabei jeweils auf einer Wegstrecke von 1,5 km? 15 Bei einem Fahrrad haben die Räder einen äußeren Durchmesser von d = 67 cm. Ein Kettenblatt der Tretkurbel hat 48 Zähne, drei der Ritzel am Hinterrad besitzen 24, 20 und 16 Zähne. a) Berechne die Übersetzungen der einzelnen Gänge. b) Ein Radfahrer fährt eine 9 km lange Trainingsstrecke. Wie oft muss er die Tretkurbel treten, wenn er jeweils ein Drittel der Strecke mit einem der drei Gänge aus a) fährt? 16 Nebenstehende Schablone soll aus einer rechteckigen Holzplatte gesägt werden. Wie viel Prozent beträgt der Holzabfall? 17 Das Bild zeigt je eine grüne, gelbe und blaue Fläche. Die gekennzeichneten Mittelpunkte zer legen den Durchmesser des großen Kreises in sechs gleich lange Teile. Zeige allgemein, dass die drei Flächen den gleichen Flächeninhalt besitzen. a) b) c) d) r 5 dm 4,8 cm d + 40° 125° 35° b 85 cm 110 mm As 32 dm2 a) b) r b ASektor t Satellit 36 000 km Erde Maße in mm 133 118 211 128 S. 216 Bei Kreisen gibt es folgende Proportionalitäten: „ $ER5MFANGDES+REISESISTPROPORTIONALZUM $URCHMESSERBZW2ADIUS „ $ER&LiCHENINHALTDES+REISESISTPROPORTIONAL ZUM1UADRATDES2ADIUS $ERProportionalitätsfaktorISTJEWEILSDIE Kreiszahl /SPRICH0I /ISTEINEIRRATIONALE:AHL / Umfang u eines Kreises U/ · d = 2/ · r Flächeninhalt A eines Kreises A = / · r2 S. 218 3INDBEIEINEM+REISDER2ADIUSRUNDDER -ITTELPUNKTSWINKEL+GEGEBENSOLASSENSICH FOLGENDE+REISTEILEBERECHNEN Länge b des Kreisbogens b = + ____ 360° · 2/ r = + ____ 180° · / r Umfang uS des Kreissektors US = b + 2r Flächeninhalt AS des Kreissektors AS = + ____ 360° · / r 2 S. 220 3EIBEIEINEM+REISRING2DER2ADIUSDES !U†ENKREISESUNDRDER2ADIUSDES)NNENKREISES $ANNGILT Flächeninhalt ARing der Kreisringfläche A2ING = /À2 2 – r2 Umfang uRing der Kreisringfläche U2ING = 2/À2R S. 220 $ERFlächeninhalt eines Kreissegments ergibt SICHDAMITALS$IFFERENZDES&LiCHENINHALTSDES +REISSEKTORSUNDEINESGLEICHSCHENKLIGEN$REIECKS A3EGMENT = A3EKTOR – A6MAB M r d M r r + B A M R r M μ A S r b 230 9.7 Auf einen Blick Die Seite Auf einen Blick enthält das Grundwissen des Kapitels in kompakter Form. Kreuz und quer 231 Quadratische Funktionen 1 Gib an, welche der folgenden Punkte auf der Parabel mit der Gleichung y = x2 liegen: A (–2 | –4); B (–1 | 1); C (2 | 2); D (4 | 16); E (5 | 55) 2 Gegeben ist eine Parabel p: y = 5x2. Ergänze die fehlenden Koordinaten so, dass die Punkte auf der Parabel liegen. A (2 | ); B ( 1 __ 2 | ); C ( | 0); D ( | 25) 3 Bestimme zu den jeweiligen Funktionswerten die passenden Gleichungen der Form y = ax2. 4 Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes der quadratischen Funktion. a) y = x2 – 3 b) y = (x + 2)2 c) y = 2,5x2 – 4 d) y = – (x2 + 3) – 1 5 Ordne den Graphen jeweils die passende Funktions gleichung zu. A y = –0,5 (x – 1)2 B y = 2x + 1 C y = 2x2 – 4x + 5 D y = (x + 2)2 E y = –2x2 – 1,5 6 Die Parabel p wird durch den Vektor __ › v auf die Parabel p’ abgebildet. Ermittle rechnerisch die Parabelgleichung von p’. a) p: y = –2x2 + 10x – 20 __ › v = ( 3 5 ) b) p: y = 0,4x2 – 12x – 2 __ › v = ( –2 3 ) 7 Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes, die Definitionsund Wertemenge und die Symmetrie achse der Parabel. a) y = –0,5x2 + 8x + 18 b) y = –2x2 + 12x + 19 x –2 –0,5 0 0,5 2 a) 4 0,25 0 0,25 4 b) 6,4 0,4 0 0,4 6,4 c) –6,4 –0,4 0 –0,4 –6,4 d) 2 0,125 0 0,125 2 e) –2 –0,125 0 –0,125 –2 3 2 1 1 2–1 –1 –2 –2–3 x y 1 2 3 5 4 Zusammengesetzte Zufallsexperimente 8 Eine Laplace-Münze wird zweimal hintereinander geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass … a) im ersten Wurf „Zahl“ kommt. b) im zweiten Wurf „Zahl“ kommt. c) nur im zweiten Wurf „Zahl“ kommt. d) höchstens einmal „Zahl“ kommt. e) in beiden Würfen „Zahl“ kommt. 9 Anne und Lukas werfen Körbe mit dem Basketball. Annes Trefferquote liegt bei 40 %, die von Lukas bei 30 %. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelingt insgesamt mindestens ein Korb, wenn jeder nur einmal werfen darf? 10 Das abgebildete Glücksrad wird zweimal gedreht. Berechne die Wahrscheinlichkeit (als Bruch), dass … a) zuerst 1 und dann 3 auftritt. b) beide Male eine ungerade Zahl auftritt. c) die Summe der beiden Zahlen 8 ergibt. d) die Summe der beiden Zahlen 5 ergibt. e) beide Zahlen gleich sind. f) die zweite Zahl kleiner ist als die erste. 11 Vervollständige die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm. 12 Beim Lotto „3 aus 5“ wird dreimal je eine Kugel gezogen und wieder zurückgelegt. Welche der folgenden Terme geben die Wahrscheinlichkeit an, dass dabei höchstens zweimal die eins gezogen wird? 1 ( 2 __ 5 ) 2 · 3 __ 5 2 1 – ( 1 __ 5 ) 3 3 3 · 2 __ 5 · 3 __ 5 4 1 – ( 2 __ 5 ) 3 5 ( 3 __ 5 ) 3 + 3 · 2 __ 5 · ( 3 __ 5 ) 2 + 3 · ( 2 __ 5 ) 2 · 3 __ 5 4 3 2 1 3 4 1 2 1 2 1 3 1 8 Habt ihr auch nichts vergessen? Auf den Seiten Kreuz und quer, die „zwischen zwei Kapiteln“ stehen, könnt ihr testen, ob ihr im Stoff der zurückliegenden Kapitel bzw. Schuljahre noch fi t seid. Nu r z u rü fzw ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc h r V rla gs