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Die Doppelseite Das kann ich! hat verschiedene Teile: Im ersten Teil ﬁ ndet ihr Aufgaben, die ihr alleine löst. Anschließend bewertet ihr euch, die Lösungen dazu ﬁ ndet ihr im Anhang. Die Aufgaben sind einfach gehalten, ihr solltet also einen Großteil davon gut schaffen. Der zweite Teil enthält „Diskussionsaufgaben“: Bezieht Stellung zu den Behauptungen und begründet oder widerlegt sie. Anschließend vergleicht ihr eure Ergebnisse mit einem Partner. Mithilfe der Tabelle könnt ihr prüfen, was ihr gut könnt und wo ihr noch üben müsst. Ihr ﬁ ndet auch Seitenverweise zum Nacharbeiten. 156 1575.8 Themenseite: Aus der Medizin Nicht jeder Test ist richtig Beim ELISA-Suchtest geht es darum, möglichst alle HIV-inﬁ zierten Personen zu entdecken. Dabei nimmt man bei dem Test bewusst in Kauf, auch nicht inﬁ zierte Personen zunächst positiv zu testen. Mit einem Kontrolltest, der jedoch viel aufwändiger und teurer ist, werden alle als inﬁ ziert eingestuften Personen dann noch einmal getestet. Die Vierfeldertafel zeigt die Verteilung der Ergebnisse, die man aufgrund der Verteilung der HIV-Inﬁ zierten in Deutschland pro 1 000 000 Einwohner erwarten kann. a) Bestimme den Prozentsatz an HIV-Inﬁ zierten, den man in Deutschland erwartet. b) Bestimme die Sensitivität und die Speziﬁ tät des ELISA-Tests (vgl. Info-Kasten „Testsprache“). c) Beurteile den Test, indem du die Wahrscheinlichkeit bestimmst, dass eine positiv getestete Person tatsächlich inﬁ ziert ist. Ungebetene Gäste Zecken können in der Natur unbemerkt auf Menschen krabbeln. Sie sind kleine blutsaugende Parasiten, die zahlreiche Krankheiten übertragen können. Besonders gefährlich ist dabei die Hirnhautentzündung (Meningitis), deren Viren während des Blutsaugens übertragen werden. Die Hälfte aller Patienten, die eine Hirnhautentzündung haben, klagen zu Anfang unter einer Steifheit des Nackens. Jedoch klagt in einer Arztpraxis jeder 20. Patient über dieses Symptom, das auch ganz andere Ursachen haben kann. a) In Hessen gibt es einige Risikogebiete für Hirnhautentzündungen. Erstelle für ein solches Gebiet eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen H: „Hirnhauteinzündung“ und N: „steifer Nacken“. Gehe dabei in einem Risikogebiet von durchschnittlich 3 Erkrankungen pro 100 000 Einwohnern aus. b) Während eines Urlaubs an der Lahn im Landkreis Marburg-Biedenkopf klagt Svenja über einen steifen Nacken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Svenja tatsächlich an einer Hirnhautentzündung erkrankt ist? Doppeltes Glück Eineiige Zwillinge entstammen einer Eizelle und haben immer dasselbe Geschlecht. Zweieiige Zwillinge dagegen entstehen aus zwei Eizellen und können auch unterschiedliches Geschlecht haben. Statistiken haben ergeben, dass in Deutschland etwa bei jeder 60. Geburt Zwillinge zur Welt kommen. Dabei liegt das Verhältnis der eineiigen zu den zweieiigen Zwillingsgeburten ungefähr bei 1 : 2. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Geburt eine Zwillingsgeburt mit eineiigen (zweieiigen) Zwillingen ist. b) Die Nachbarn haben Zwillinge bekommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um zwei Jungen, wenn die Zwillinge … 1 eineiig sind. 2 zweieiig sind. Gehe davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten für Jungenund Mädchengeburten gleich groß sind. Freudige Erwartung Frau Sarkow bekommt ein Baby und die Wehen haben eingesetzt. Ihr Mann nimmt den schnellsten Weg in die Klinik. Unterwegs muss er zwei Ampeln passieren. Aus Erfahrung hat er das Gefühl, dass jede Ampel in der Hälfte aller Fälle grün anzeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass … a) beide Ampeln grün anzeigen? b) mindestens eine Ampel grün anzeigt? HIV-inﬁ ziert nicht HIVinﬁ ziert gesamt ELISA-Test positiv 999 1998 2997 ELISA-Test negativ 1 997 002 997 003 gesamt 1000 999 000 1 000 000 Testsprache Sensitivität: Anteil der inﬁ zierten Personen, die durch den Test als inﬁ ziert erkannt werden. Man sagt, sie erhalten ein positives Ergebnis. Speziﬁ tät: Anteil der nicht-inﬁ zierten Personen, die durch den Test als nicht-inﬁ ziert erkannt werden, also ein sogenanntes negatives Ergebnis erhalten. Risikogebiet: Mehr als 1 Erkrankung pro 100 000 Einwohner vereinzelt auftretende Fälle: Weniger als 1 Erkrankung pro 100 000 Einwohner keine aufgetretenen Fälle Das kann ich! 159 10 Eine Münze wird mehrmals hintereinander geworfen. a) Wie kann der Münzwurf durch das Ziehen von Kugeln aus einer Urne simuliert werden? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Wurf zum ersten Mal Zahl zu erhalten. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, spätestens beim fünften Wurf zum ersten Mal Zahl zu erhalten. 11 An einem Flughafen trägt etwa jeder hundertste Passagier verbotene Drogen bei sich. Die Spürhunde der Polizei erkennen Schmuggler mit 99 %-iger Wahrscheinlichkeit. Allerdings schlagen sie auch bei Unschuldigen in 5 % der Fälle an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jemand tatsächlich Drogen bei sich hat, falls ein Spürhund bei ihm anschlägt. 12 Nach der Ziehung der Lottozahlen 1; 5; 19; 25; 26; 49 werden für die nächste Ziehung sofort zwei neue Tipps abgegeben. Tipp 1: 1; 5; 19; 25; 26; 49 Tipp 2: 4; 10; 15; 22; 35; 45 Gib den Tipp an, der mit einer höheren Wahrscheinlichkeit gewinnt. Begründe. Aufgaben für Lernpartner Arbeitsschritte 1 Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. 2 Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. 3 Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. 13 Bei einem Boxplot umschließt die Box immer genau die Hälfte aller Werte. 14 Der Modalwert ist immer ein tatsächlich vorkommender Wert. 15 Der Median ist immer ein tatsächlich vorkommender Wert. 16 Das arithmetische Mittel ist immer ein tatsächlich vorkommender Wert. 17 Wenn das arithmetische Mittel von zwei Zahlen den gleichen Wert hat wie eine der beiden Zahlen, so hat die zweite Zahl ebenfalls denselben Wert. 18 Die Spannweite ist höchstens so groß wie das Maximum. 19 Die Spannweite ist mindestens so groß wie das Minimum. 20 Zwischen dem oberen Quartil und dem Maximum beim Boxplot liegen 25 % aller Werte. 21 Aus einer Urne mit je 12 roten und blauen Kugeln werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Dann wird die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel immer kleiner. 22 Mit den beiden abgebildeten Baumdiagrammen kann man dasselbe Zufallsexperiment beschreiben. 1 2 23 Bei einem gezinkten Spielwürfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen, 20 %. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, vier Sechser hintereinander zu werfen, kleiner als 1 %. 24 Bei einem Laplace-Experiment kann ein Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 50 % eintreten. Aufgabe Ich kann … Hilfe 1, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Daten anhand statistischer Kennwerte beschreiben. S. 136 3, 4, 13, 20 die Verteilung von Daten mit Boxplots darstellen und beurteilen. S. 136 5, 24 Laplace – Wahrscheinlichkeiten bestimmen. S. 140 6, 22, 23 Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen anhand von Baumdiagrammen und Pfadregeln bestimmen. S. 144 7, 9, 11 Wahrscheinlichkeiten anhand von Vierfeldertafeln ermitteln. S. 148 8, 10, 12, 21 Zufallsexperimente als Urnenmodelle simulieren. S. 150 158 5.9 Das kann ich! Überprüfe deine Fähigkeiten und Kenntnisse. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten ﬁ ndest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Aufgaben zur Einzelarbeit 1 Frau May fragt die 26 Schüler der Klasse 8c, wie viele Bücher sie haben. Erkläre jeweils die Angaben. a) Der Median aller Antworten liegt bei 11. b) Der Modalwert der Antworten liegt bei 9. c) Ist es nach Aufgabe a) und b) möglich, dass 14 Schüler der Klasse 10 Bücher haben? 2 Ergänze zu den Daten je eine Zahl so, dass … a) das arithmetische Mittel unverändert bleibt. 0; 1; 3; 4 b) das arithmetische Mittel der Zahlen 30 wird. 10; 40; 30; 10 c) der Modalwert 0 ist. 0; 1; 2; 3; 4 d) der Median 2 ist. 3; 13; 1; 1; 7 e) die Spannweite 11 ist. 5; 2; 5; 9 3 Einer Umfrage zum Bücherkonsum zufolge lesen „Leseratten“ bis zu 23 Bücher im Jahr. „Lesemuffel“ lesen gar nicht. Immerhin geben ca. 50 % der Befragten an, mindestens fünf Bücher im Jahr zu lesen. 50 % der Befragten geben an, jedes Jahr drei bis zehn Bücher zu lesen. Nur ein Viertel der Befragten liest mehr als zehn Bücher jährlich. Zeichne einen Boxplot, der zu diesen Aussagen passt. 4 In einer Untersuchung von 20 Katzen wurde erfasst, wie viele Katzenbabys sie innerhalb eines Jahres geboren haben. Die Ergebnisse wurden in einem Boxplot dargestellt. Beschreibe die Ergebnisse in Worten. . / Das kann ich! Das kann ich fast! Das kann ich noch nicht! 5 In einer schwarzen Plastiktüte liegen zehn deutsche 1-ct-Münzen und eine monegassische. Charlene zieht so oft eine Münze, bis sie die monegassische hat. Natürlich legt sie die gezogenen Münzen nicht wieder in die Tüte zurück! Gib einen passenden Ergebnisraum an. 6 Übertrage das abgebildete Baumdiagramm in dein Heft und markiere alles, was … a) K __ R beschreibt, blau. b) __ K beschreibt, grün. c) R beschreibt, rot. 7 Übertrage die Vierfeldertafel in dein Heft und vervollständige sie. 8 Aus einer Urne mit sechs blauen, drei roten und einer gelben Kugel zieht Tim drei Kugeln … a) mit Zurücklegen. b) ohne Zurücklegen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass Tim … 1 drei gleichfarbige Kugeln zieht. 2 von jeder Farbe eine Kugel erwischt. 3 nur rote und blaue Kugeln erhält. 4 nur zwei verschiedene Farben zieht. 9 Zu einem Faschingsfest verkleiden sich 120 Gäste, der Rest kommt ohne Verkleidung. 90 Frauen haben sich verkleidet. Das ist die Hälfte der weiblichen Gäste. Ohne Verkleidung kommen 60 Männer. a) Erstelle eine Vierfeldertafel und bestimme, wie viele Männer verkleidet zum Fest erschienen sind. b) Welcher Anteil der Nicht-Verkleideten ist männlich? 0 4321 5 8 Anzahl Katzenbabys6 7 A __ A gesamt B 0,25 0,3 __ B gesamt 0,3 B A B B B A 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 A B A A A B 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 R K R R R K Die Themenseite enthält nach Anspruchsniveau differenzierte Aufgaben zu einem einzigen, interessanten Thema. Die mathe matischen Inhalte werden dabei miteinander verbunden. S. 108 16 Schüler von 25 Schülern haben ein Smartphone. Das sind 16 ___ 25 = 64 ____ 100 = 64 %. Bei den Grundaufgaben der Prozentrechnung ist entweder der Grundwert G, der Prozentwert P oder der Prozentsatz p % gesucht. Die Zuordnungen zwischen den Größen sind jeweils proportional, sodass man für die Bestimmung die Eigenschaften proportionaler Zuordnungen nutzen kann. S. 112 G+ = G · ( 1 + p ____ 100 ) G– = G · ( 1 – p ____ 100 ) Wird ein Grundwert G um p % erhöht, dann bezeichnet man den erhöhten Wert als vermehrten Grundwert G+. G+ = Grundwert G + Prozentwert P Entsprechend bezeichnet man bei einer Reduzierung um p % den erniedrigten Wert als verminderten Grundwert G–. G– = Grundwert G – Prozentwert P S. 116 Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. In den meisten Fällen wird ein Jahreszins vereinbart, d. h. nach einem Jahr wird das Kapital um die berechneten Zinsen erhöht. Z = K · p % („Zinsformel“) S. 116 Jahreszinsen 120 f, Zinsen für 7 Monate sind dann Z = 120 f · 7 ___ 12 = 70 f, Zinsen für 45 Tage sind dann Z = 120 f · 45 ____ 360 = 15 f. Wird Geld nur einen Teil des Jahres angelegt, dann wird auch nur der zugehörige Anteil von den Jahreszinsen Z berechnet. S. 118 Zinssatz 3 % Kapital K nach 1 Jahr: K (1) = K · 1,03 Kapital K nach 2 Jahren: K (2) = K · 1,032 Kapital K nach 3 Jahren: K (3) = K · 1,033 Kapital K nach n Jahren: K (n) = K · 1,03n Werden am Ende eines Jahres die Zinsen nicht abgehoben, so werden sie zum Guthaben hinzugerechnet und im nächsten Jahr ebenfalls mitverzinst. Man spricht vom Zinseszins. Kapitel K nach n Jahren bei einem Zinssatz von p %: K (n) = K · (1 + p %)n („Zinseszinsformel“) S. 119 Beispiel für Zinszeitraum einzelner Raten Im Alltag werden oft regelmäßig gleich große Geldbeträge bezahlt, die man Raten nennt. Die Zinsen werden dabei nur für die Zeit berücksichtigt, die die Rate auch tatsächlich bezahlt wurde. 132 4.9 Auf einen Blick Prozentwert P Grundwert G Prozentsatz p % Grundwert G 100 % Prozentwert P p % vermehrter Grundwert G+ 100 % + p % G + P Grundwert G 100 % Prozentwert P p % G – P verminderter Grundwert G– 100 % – p % Prozentrechung Zinsrechnung Grundwert G Kapital K Prozentwert P Zinsen Z Prozentsatz p % Zinssatz p % 1. Rate: 12 Monate 2. Rate: 11 Monate ... ... Die Seite Auf einen Blick enthält das Grundwissen des Kapitels in kompakter Form. Grundwissen + + = 180° Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck beträgt 180° (Innenwinkelsatz). Man kann Dreiecke nach Winkeln unterscheiden: • spitzwinkliges Dreieck: Alle Winkel sind kleiner 90°. • rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist 90°. • stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist größer 90° und kleiner 180°. Man kann Dreiecke nach Seitenverhältnissen unterscheiden: • gleichschenkliges Dreieck: Zwei Seiten (die Schenkel) sind gleich lang. • gleichseitiges Dreieck: Alle drei Seiten sind gleich lang. Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen. Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Verschiebung sind Kongruenzabbildungen, d. h. Originalund Bildﬁ gur sind zueinander kongruent (deckungsgleich). • Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar gegenüberliegenden, parallelen und gleich langen Seiten. • Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. • Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist. • Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Ein gleichschenkliges Trapez ist achsensymmetrisch. Der Umfang u einer geometrischen Figur ist die Länge ihrer Randlinie. Bei einer beliebigen Figur werden für den Umfang die einzelnen Seitenlängen addiert. A Parallelogramm Raute Drachenviereck Trapez gleichschenkliges Trapez B D C D B A A A A B B C D C D C C b a e d c f u = a + b + c + d + e + f 194 c ab A B C c ab A B C B C A c ab spitzwinklig rechtwinklig stumpfwinklig gleichschenklig gleichseitig A B C A B C Scheitelwinkel Basiswinkel Basis Schenkel Seiten 90 90 90 90 Punktspiegelung oder Drehung um 180° Z Verschiebung Achsenspiegelung A B C _ ` a Kreuz und quer 105 Terme umformen 1 Löse alle Klammern auf und vereinfache den Term. a) 2 · (x + y) – 3x b) (4a – 3) · 5 + 8 c) 1 __ 2 · (e – 2) + (f – 1) · 7 d) 1 __ 4 · ( 1 __ 2 s + 4t ) – 3s e) (a + b) · 3 + 4 · (a – b) f) 5k – (0,7m – 3k) g) (m – n) · 3 + (m + n) · 2 h) 2 · (2x + 1) – 2x 2 Drücke die Figuren mithilfe von Termen aus und vereinfache diese so weit wie möglich. 3 a) Erkläre mithilfe der Abbildungen folgende Umformung: (a + b) · c = a · c + b · c. b) Finde selbst eine Abbildung für die Umformung (a – b) · c = a · c – b · c. 4 a) Setze das Muster um zwei Schritte fort. b) Übertrage und ergänze die Tabelle. c) Finde einen Term, mit dem man die Anzahl der blauen Kästchen (Kästchen insgesamt) für einen beliebigen Schritt bestimmen kann. l a) b) c) k r a ab b c c c Schritt 1 2 3 4 5 8 10 Anzahl blauer Kästchen Anzahl Kästchen gesamt 1 2 3 Flächeninhalt von Dreiecken 5 Bestimme den Flächeninhalt der abgebildeten Dreiecke. Miss die dafür nötigen Strecken aus. a) b) c) d) 6 Ordne die Dreiecke nach der Größe ihrer Flächeninhalte. Beginne mit dem kleinsten. 7 Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks. 8 Ein Dreieck hat einen Flächeninhalt von 24 cm2. a) Zeichne ein solches Dreieck. b) Beschreibe, wie du weitere Dreiecke mit demselben Flächeninhalt ﬁ nden kannst. 9 Übertrage das Dreieck ins Heft. Zeichne mindestens zwei verschiedene weitere Dreiecke, die denselben Flächeninhalt haben. 10 Begründe ohne zu messen, warum die beiden Dreiecke denselben Flächeninhalt haben. a) b) c) Grundseite g 2 cm 13 mm Höhe h 14 mm 2,5 cm Flächeninhalt A 10 cm2 2,6 cm2 1 2 5 4 3 a a Habt ihr auch nichts ver gessen? Auf den Seiten Kreuz und quer, die „zwischen zwei Kapiteln“ stehen, könnt ihr testen, ob ihr im Stoff der zurückliegenden Kapitel bzw. Schuljahre noch ﬁ t seid. Wollt ihr Mathe-Stoff nachschlagen, der schon länger zurückliegt? Am Ende des Buches ﬁ ndet ihr das Grundwissen. Nu r z ur Pr üf zw ck en E g tu m d es C .C . B ch er V er la gs

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Die Doppelseite Das kann ich! hat verschiedene Teile: Im ersten Teil ﬁ ndet ihr Aufgaben, die ihr alleine löst. Anschließend bewertet ihr euch, die Lösungen dazu ﬁ ndet ihr im Anhang. Die Aufgaben sind einfach gehalten, ihr solltet also einen Großteil davon gut schaffen. Der zweite Teil enthält „Diskussionsaufgaben“: Bezieht Stellung zu den Behauptungen und begründet oder widerlegt sie. Anschließend vergleicht ihr eure Ergebnisse mit einem Partner. Mithilfe der Tabelle könnt ihr prüfen, was ihr gut könnt und wo ihr noch üben müsst. Ihr ﬁ ndet auch Seitenverweise zum Nacharbeiten. 156 1575.8 Themenseite: Aus der Medizin Nicht jeder Test ist richtig Beim ELISA-Suchtest geht es darum, möglichst alle HIV-inﬁ zierten Personen zu entdecken. Dabei nimmt man bei dem Test bewusst in Kauf, auch nicht inﬁ zierte Personen zunächst positiv zu testen. Mit einem Kontrolltest, der jedoch viel aufwändiger und teurer ist, werden alle als inﬁ ziert eingestuften Personen dann noch einmal getestet. Die Vierfeldertafel zeigt die Verteilung der Ergebnisse, die man aufgrund der Verteilung der HIV-Inﬁ zierten in Deutschland pro 1 000 000 Einwohner erwarten kann. a) Bestimme den Prozentsatz an HIV-Inﬁ zierten, den man in Deutschland erwartet. b) Bestimme die Sensitivität und die Speziﬁ tät des ELISA-Tests (vgl. Info-Kasten „Testsprache“). c) Beurteile den Test, indem du die Wahrscheinlichkeit bestimmst, dass eine positiv getestete Person tatsächlich inﬁ ziert ist. Ungebetene Gäste Zecken können in der Natur unbemerkt auf Menschen krabbeln. Sie sind kleine blutsaugende Parasiten, die zahlreiche Krankheiten übertragen können. Besonders gefährlich ist dabei die Hirnhautentzündung (Meningitis), deren Viren während des Blutsaugens übertragen werden. Die Hälfte aller Patienten, die eine Hirnhautentzündung haben, klagen zu Anfang unter einer Steifheit des Nackens. Jedoch klagt in einer Arztpraxis jeder 20. Patient über dieses Symptom, das auch ganz andere Ursachen haben kann. a) In Hessen gibt es einige Risikogebiete für Hirnhautentzündungen. Erstelle für ein solches Gebiet eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen H: „Hirnhauteinzündung“ und N: „steifer Nacken“. Gehe dabei in einem Risikogebiet von durchschnittlich 3 Erkrankungen pro 100 000 Einwohnern aus. b) Während eines Urlaubs an der Lahn im Landkreis Marburg-Biedenkopf klagt Svenja über einen steifen Nacken. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Svenja tatsächlich an einer Hirnhautentzündung erkrankt ist? Doppeltes Glück Eineiige Zwillinge entstammen einer Eizelle und haben immer dasselbe Geschlecht. Zweieiige Zwillinge dagegen entstehen aus zwei Eizellen und können auch unterschiedliches Geschlecht haben. Statistiken haben ergeben, dass in Deutschland etwa bei jeder 60. Geburt Zwillinge zur Welt kommen. Dabei liegt das Verhältnis der eineiigen zu den zweieiigen Zwillingsgeburten ungefähr bei 1 : 2. a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine Geburt eine Zwillingsgeburt mit eineiigen (zweieiigen) Zwillingen ist. b) Die Nachbarn haben Zwillinge bekommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um zwei Jungen, wenn die Zwillinge … 1 eineiig sind. 2 zweieiig sind. Gehe davon aus, dass die Wahrscheinlichkeiten für Jungenund Mädchengeburten gleich groß sind. Freudige Erwartung Frau Sarkow bekommt ein Baby und die Wehen haben eingesetzt. Ihr Mann nimmt den schnellsten Weg in die Klinik. Unterwegs muss er zwei Ampeln passieren. Aus Erfahrung hat er das Gefühl, dass jede Ampel in der Hälfte aller Fälle grün anzeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass … a) beide Ampeln grün anzeigen? b) mindestens eine Ampel grün anzeigt? HIV-inﬁ ziert nicht HIVinﬁ ziert gesamt ELISA-Test positiv 999 1998 2997 ELISA-Test negativ 1 997 002 997 003 gesamt 1000 999 000 1 000 000 Testsprache Sensitivität: Anteil der inﬁ zierten Personen, die durch den Test als inﬁ ziert erkannt werden. Man sagt, sie erhalten ein positives Ergebnis. Speziﬁ tät: Anteil der nicht-inﬁ zierten Personen, die durch den Test als nicht-inﬁ ziert erkannt werden, also ein sogenanntes negatives Ergebnis erhalten. Risikogebiet: Mehr als 1 Erkrankung pro 100 000 Einwohner vereinzelt auftretende Fälle: Weniger als 1 Erkrankung pro 100 000 Einwohner keine aufgetretenen Fälle Das kann ich! 159 10 Eine Münze wird mehrmals hintereinander geworfen. a) Wie kann der Münzwurf durch das Ziehen von Kugeln aus einer Urne simuliert werden? b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, beim fünften Wurf zum ersten Mal Zahl zu erhalten. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, spätestens beim fünften Wurf zum ersten Mal Zahl zu erhalten. 11 An einem Flughafen trägt etwa jeder hundertste Passagier verbotene Drogen bei sich. Die Spürhunde der Polizei erkennen Schmuggler mit 99 %-iger Wahrscheinlichkeit. Allerdings schlagen sie auch bei Unschuldigen in 5 % der Fälle an. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass jemand tatsächlich Drogen bei sich hat, falls ein Spürhund bei ihm anschlägt. 12 Nach der Ziehung der Lottozahlen 1; 5; 19; 25; 26; 49 werden für die nächste Ziehung sofort zwei neue Tipps abgegeben. Tipp 1: 1; 5; 19; 25; 26; 49 Tipp 2: 4; 10; 15; 22; 35; 45 Gib den Tipp an, der mit einer höheren Wahrscheinlichkeit gewinnt. Begründe. Aufgaben für Lernpartner Arbeitsschritte 1 Bearbeite die folgenden Aufgaben alleine. 2 Suche dir einen Partner und erkläre ihm deine Lösungen. Höre aufmerksam und gewissenhaft zu, wenn dein Partner dir seine Lösungen erklärt. 3 Korrigiere gegebenenfalls deine Antworten und benutze dazu eine andere Farbe. Sind folgende Behauptungen richtig oder falsch? Begründe schriftlich. 13 Bei einem Boxplot umschließt die Box immer genau die Hälfte aller Werte. 14 Der Modalwert ist immer ein tatsächlich vorkommender Wert. 15 Der Median ist immer ein tatsächlich vorkommender Wert. 16 Das arithmetische Mittel ist immer ein tatsächlich vorkommender Wert. 17 Wenn das arithmetische Mittel von zwei Zahlen den gleichen Wert hat wie eine der beiden Zahlen, so hat die zweite Zahl ebenfalls denselben Wert. 18 Die Spannweite ist höchstens so groß wie das Maximum. 19 Die Spannweite ist mindestens so groß wie das Minimum. 20 Zwischen dem oberen Quartil und dem Maximum beim Boxplot liegen 25 % aller Werte. 21 Aus einer Urne mit je 12 roten und blauen Kugeln werden 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Dann wird die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer roten Kugel immer kleiner. 22 Mit den beiden abgebildeten Baumdiagrammen kann man dasselbe Zufallsexperiment beschreiben. 1 2 23 Bei einem gezinkten Spielwürfel ist die Wahrscheinlichkeit, eine Sechs zu werfen, 20 %. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, vier Sechser hintereinander zu werfen, kleiner als 1 %. 24 Bei einem Laplace-Experiment kann ein Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit größer als 50 % eintreten. Aufgabe Ich kann … Hilfe 1, 2, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Daten anhand statistischer Kennwerte beschreiben. S. 136 3, 4, 13, 20 die Verteilung von Daten mit Boxplots darstellen und beurteilen. S. 136 5, 24 Laplace – Wahrscheinlichkeiten bestimmen. S. 140 6, 22, 23 Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen anhand von Baumdiagrammen und Pfadregeln bestimmen. S. 144 7, 9, 11 Wahrscheinlichkeiten anhand von Vierfeldertafeln ermitteln. S. 148 8, 10, 12, 21 Zufallsexperimente als Urnenmodelle simulieren. S. 150 158 5.9 Das kann ich! Überprüfe deine Fähigkeiten und Kenntnisse. Bearbeite dazu die folgenden Aufgaben und bewerte anschließend deine Lösungen mit einem Smiley. Hinweise zum Nacharbeiten ﬁ ndest du auf der folgenden Seite. Die Lösungen stehen im Anhang. Aufgaben zur Einzelarbeit 1 Frau May fragt die 26 Schüler der Klasse 8c, wie viele Bücher sie haben. Erkläre jeweils die Angaben. a) Der Median aller Antworten liegt bei 11. b) Der Modalwert der Antworten liegt bei 9. c) Ist es nach Aufgabe a) und b) möglich, dass 14 Schüler der Klasse 10 Bücher haben? 2 Ergänze zu den Daten je eine Zahl so, dass … a) das arithmetische Mittel unverändert bleibt. 0; 1; 3; 4 b) das arithmetische Mittel der Zahlen 30 wird. 10; 40; 30; 10 c) der Modalwert 0 ist. 0; 1; 2; 3; 4 d) der Median 2 ist. 3; 13; 1; 1; 7 e) die Spannweite 11 ist. 5; 2; 5; 9 3 Einer Umfrage zum Bücherkonsum zufolge lesen „Leseratten“ bis zu 23 Bücher im Jahr. „Lesemuffel“ lesen gar nicht. Immerhin geben ca. 50 % der Befragten an, mindestens fünf Bücher im Jahr zu lesen. 50 % der Befragten geben an, jedes Jahr drei bis zehn Bücher zu lesen. Nur ein Viertel der Befragten liest mehr als zehn Bücher jährlich. Zeichne einen Boxplot, der zu diesen Aussagen passt. 4 In einer Untersuchung von 20 Katzen wurde erfasst, wie viele Katzenbabys sie innerhalb eines Jahres geboren haben. Die Ergebnisse wurden in einem Boxplot dargestellt. Beschreibe die Ergebnisse in Worten. . / Das kann ich! Das kann ich fast! Das kann ich noch nicht! 5 In einer schwarzen Plastiktüte liegen zehn deutsche 1-ct-Münzen und eine monegassische. Charlene zieht so oft eine Münze, bis sie die monegassische hat. Natürlich legt sie die gezogenen Münzen nicht wieder in die Tüte zurück! Gib einen passenden Ergebnisraum an. 6 Übertrage das abgebildete Baumdiagramm in dein Heft und markiere alles, was … a) K __ R beschreibt, blau. b) __ K beschreibt, grün. c) R beschreibt, rot. 7 Übertrage die Vierfeldertafel in dein Heft und vervollständige sie. 8 Aus einer Urne mit sechs blauen, drei roten und einer gelben Kugel zieht Tim drei Kugeln … a) mit Zurücklegen. b) ohne Zurücklegen. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass Tim … 1 drei gleichfarbige Kugeln zieht. 2 von jeder Farbe eine Kugel erwischt. 3 nur rote und blaue Kugeln erhält. 4 nur zwei verschiedene Farben zieht. 9 Zu einem Faschingsfest verkleiden sich 120 Gäste, der Rest kommt ohne Verkleidung. 90 Frauen haben sich verkleidet. Das ist die Hälfte der weiblichen Gäste. Ohne Verkleidung kommen 60 Männer. a) Erstelle eine Vierfeldertafel und bestimme, wie viele Männer verkleidet zum Fest erschienen sind. b) Welcher Anteil der Nicht-Verkleideten ist männlich? 0 4321 5 8 Anzahl Katzenbabys6 7 A __ A gesamt B 0,25 0,3 __ B gesamt 0,3 B A B B B A 1 2 1 2 2 3 1 3 2 3 1 3 A B A A A B 1 3 2 3 1 2 1 2 1 2 1 2 R K R R R K Die Themenseite enthält nach Anspruchsniveau differenzierte Aufgaben zu einem einzigen, interessanten Thema. Die mathe matischen Inhalte werden dabei miteinander verbunden. S. 108 16 Schüler von 25 Schülern haben ein Smartphone. Das sind 16 ___ 25 = 64 ____ 100 = 64 %. Bei den Grundaufgaben der Prozentrechnung ist entweder der Grundwert G, der Prozentwert P oder der Prozentsatz p % gesucht. Die Zuordnungen zwischen den Größen sind jeweils proportional, sodass man für die Bestimmung die Eigenschaften proportionaler Zuordnungen nutzen kann. S. 112 G+ = G · ( 1 + p ____ 100 ) G– = G · ( 1 – p ____ 100 ) Wird ein Grundwert G um p % erhöht, dann bezeichnet man den erhöhten Wert als vermehrten Grundwert G+. G+ = Grundwert G + Prozentwert P Entsprechend bezeichnet man bei einer Reduzierung um p % den erniedrigten Wert als verminderten Grundwert G–. G– = Grundwert G – Prozentwert P S. 116 Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. In den meisten Fällen wird ein Jahreszins vereinbart, d. h. nach einem Jahr wird das Kapital um die berechneten Zinsen erhöht. Z = K · p % („Zinsformel“) S. 116 Jahreszinsen 120 f, Zinsen für 7 Monate sind dann Z = 120 f · 7 ___ 12 = 70 f, Zinsen für 45 Tage sind dann Z = 120 f · 45 ____ 360 = 15 f. Wird Geld nur einen Teil des Jahres angelegt, dann wird auch nur der zugehörige Anteil von den Jahreszinsen Z berechnet. S. 118 Zinssatz 3 % Kapital K nach 1 Jahr: K (1) = K · 1,03 Kapital K nach 2 Jahren: K (2) = K · 1,032 Kapital K nach 3 Jahren: K (3) = K · 1,033 Kapital K nach n Jahren: K (n) = K · 1,03n Werden am Ende eines Jahres die Zinsen nicht abgehoben, so werden sie zum Guthaben hinzugerechnet und im nächsten Jahr ebenfalls mitverzinst. Man spricht vom Zinseszins. Kapitel K nach n Jahren bei einem Zinssatz von p %: K (n) = K · (1 + p %)n („Zinseszinsformel“) S. 119 Beispiel für Zinszeitraum einzelner Raten Im Alltag werden oft regelmäßig gleich große Geldbeträge bezahlt, die man Raten nennt. Die Zinsen werden dabei nur für die Zeit berücksichtigt, die die Rate auch tatsächlich bezahlt wurde. 132 4.9 Auf einen Blick Prozentwert P Grundwert G Prozentsatz p % Grundwert G 100 % Prozentwert P p % vermehrter Grundwert G+ 100 % + p % G + P Grundwert G 100 % Prozentwert P p % G – P verminderter Grundwert G– 100 % – p % Prozentrechung Zinsrechnung Grundwert G Kapital K Prozentwert P Zinsen Z Prozentsatz p % Zinssatz p % 1. Rate: 12 Monate 2. Rate: 11 Monate ... ... Die Seite Auf einen Blick enthält das Grundwissen des Kapitels in kompakter Form. Grundwissen + + = 180° Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck beträgt 180° (Innenwinkelsatz). Man kann Dreiecke nach Winkeln unterscheiden: • spitzwinkliges Dreieck: Alle Winkel sind kleiner 90°. • rechtwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist 90°. • stumpfwinkliges Dreieck: Ein Winkel ist größer 90° und kleiner 180°. Man kann Dreiecke nach Seitenverhältnissen unterscheiden: • gleichschenkliges Dreieck: Zwei Seiten (die Schenkel) sind gleich lang. • gleichseitiges Dreieck: Alle drei Seiten sind gleich lang. Figuren sind zueinander kongruent, wenn sie in Form und Größe übereinstimmen. Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung und Verschiebung sind Kongruenzabbildungen, d. h. Originalund Bildﬁ gur sind zueinander kongruent (deckungsgleich). • Ein Parallelogramm ist ein Viereck mit zwei Paar gegenüberliegenden, parallelen und gleich langen Seiten. • Eine Raute ist ein Viereck mit vier gleich langen Seiten. • Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale Symmetrieachse ist. • Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten. Ein gleichschenkliges Trapez ist achsensymmetrisch. Der Umfang u einer geometrischen Figur ist die Länge ihrer Randlinie. Bei einer beliebigen Figur werden für den Umfang die einzelnen Seitenlängen addiert. A Parallelogramm Raute Drachenviereck Trapez gleichschenkliges Trapez B D C D B A A A A B B C D C D C C b a e d c f u = a + b + c + d + e + f 194 c ab A B C c ab A B C B C A c ab spitzwinklig rechtwinklig stumpfwinklig gleichschenklig gleichseitig A B C A B C Scheitelwinkel Basiswinkel Basis Schenkel Seiten 90 90 90 90 Punktspiegelung oder Drehung um 180° Z Verschiebung Achsenspiegelung A B C _ ` a Kreuz und quer 105 Terme umformen 1 Löse alle Klammern auf und vereinfache den Term. a) 2 · (x + y) – 3x b) (4a – 3) · 5 + 8 c) 1 __ 2 · (e – 2) + (f – 1) · 7 d) 1 __ 4 · ( 1 __ 2 s + 4t ) – 3s e) (a + b) · 3 + 4 · (a – b) f) 5k – (0,7m – 3k) g) (m – n) · 3 + (m + n) · 2 h) 2 · (2x + 1) – 2x 2 Drücke die Figuren mithilfe von Termen aus und vereinfache diese so weit wie möglich. 3 a) Erkläre mithilfe der Abbildungen folgende Umformung: (a + b) · c = a · c + b · c. b) Finde selbst eine Abbildung für die Umformung (a – b) · c = a · c – b · c. 4 a) Setze das Muster um zwei Schritte fort. b) Übertrage und ergänze die Tabelle. c) Finde einen Term, mit dem man die Anzahl der blauen Kästchen (Kästchen insgesamt) für einen beliebigen Schritt bestimmen kann. l a) b) c) k r a ab b c c c Schritt 1 2 3 4 5 8 10 Anzahl blauer Kästchen Anzahl Kästchen gesamt 1 2 3 Flächeninhalt von Dreiecken 5 Bestimme den Flächeninhalt der abgebildeten Dreiecke. Miss die dafür nötigen Strecken aus. a) b) c) d) 6 Ordne die Dreiecke nach der Größe ihrer Flächeninhalte. Beginne mit dem kleinsten. 7 Berechne die fehlenden Größen des Dreiecks. 8 Ein Dreieck hat einen Flächeninhalt von 24 cm2. a) Zeichne ein solches Dreieck. b) Beschreibe, wie du weitere Dreiecke mit demselben Flächeninhalt ﬁ nden kannst. 9 Übertrage das Dreieck ins Heft. Zeichne mindestens zwei verschiedene weitere Dreiecke, die denselben Flächeninhalt haben. 10 Begründe ohne zu messen, warum die beiden Dreiecke denselben Flächeninhalt haben. a) b) c) Grundseite g 2 cm 13 mm Höhe h 14 mm 2,5 cm Flächeninhalt A 10 cm2 2,6 cm2 1 2 5 4 3 a a Habt ihr auch nichts ver gessen? Auf den Seiten Kreuz und quer, die „zwischen zwei Kapiteln“ stehen, könnt ihr testen, ob ihr im Stoff der zurückliegenden Kapitel bzw. Schuljahre noch ﬁ t seid. Wollt ihr Mathe-Stoff nachschlagen, der schon länger zurückliegt? Am Ende des Buches ﬁ ndet ihr das Grundwissen. Nu r z ur Pr üf zw ck en E g tu m d es C .C . B ch er V er la gs
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