55 13. Zeige, dass jedes Dreieck mit den Seitenlängen √ __ n cm, n + 1 _____ 2 cm und n – 1 _____ 2 cm; n X \ {1}, rechtwinklig ist. 14. a) Das Quadrat des Vorgängers einer natürlichen Zahl n ist um 100 kleiner als das Quadrat ihres Nachfolgers. Finde n mithilfe einer Gleichung heraus. b) Zwei rationale Zahlen unterscheiden sich um 1; ihre Quadrate unterscheiden sich um 10. Finde mithilfe einer Gleichung heraus, um welche Zahlen es sich handelt. c) Die Quadrate von zwei aufeinander folgenden natürlichen Zahlen n1 und n2 unterscheiden sich um d = 37. Finde heraus, um welche beiden natürlichen Zahlen es sich handelt. 15. Für zwei von null verschiedene reelle Zahlen a und b ist a2 + b2 = 2ab. Finde heraus, welchen Wert der Quotient b : a hat. 16. Überprüfe jede der vier Aussagen zunächst an fünf Beispielen. Finde dann für diejenige(n) dieser Aussagen, die du für wahr hältst, eine allgemeine Begründung. a) Gregor behauptet: „Subtrahiert man vom Quadrat einer natürlichen Zahl n (n > 2) die Zahl 1, so ist der Differenzwert stets eine Nichtprimzahl.“ b) Laura behauptet: „Subtrahiert man vom Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n (n > 1) die Zahl 1, so ist der Differenzwert stets durch 8 teilbar.“ c) Lucas behauptet: „Das Quadrat jeder natürlichen Zahl ist um 1 größer als das Produkt ihres Vorgängers und ihres Nachfolgers.“ d) Sophie behauptet: „Der Wert des Quadrats einer ungeraden natürlichen Zahl ist stets ungerade; der Wert des Quadrats einer geraden natürlichen Zahl ist stets durch 4 teilbar.“ 17. Es ist a = √ ______ 2n + 1 , b = n und c = n + 1; n X . Zeige, dass stets a2 + b2 = c2 ist. Deute dein Ergebnis geometrisch. 18. Gib anhand der nebenstehenden Abbildung einen Term für den Flächeninhalt des a) grün getönten Rechtecks an. b) blau berandeten Sechsecks an. 19. Verlängert man jede Seite eines Quadrats um 4 cm, so ist der Flächeninhalt des neuen Quadrats um 136 cm2 größer als der des ursprünglichen. a) Berechne die Seitenlänge des ursprünglichen Quadrats. b) Um wie viel Prozent ist der Umfang des neuen Quadrats länger als der des ursprünglichen Quadrats? c) Wie viel Prozent der Fläche des neuen Quadrats nimmt das ursprüngliche Quadrat ein? 20. Verlängert man jede Kante eines Würfels um 10 cm, so nimmt sein Oberfl ächen inhalt um 12 dm2 zu. Ermittle, um wie viel Prozent dabei a) die Kantenlänge b) der Oberfl ächeninhalt c) das Volumen des Würfels zunimmt. W1 Wie viele Messgläser zu je 25,0 cm3 lassen sich aus einer Literfl asche jeweils halbvoll füllen? W2 Welche Radiuslänge x cm besitzt ein Kreis, dessen Umfangslänge y cm und dessen Flächeninhalt z cm2 die gleiche Maßzahl besitzen? W3 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim einmaligen Werfen von zwei Laplace-Spielwürfeln einen Pasch zu werfen? Sophie: Für die kleinere Zahl in 14. c) gilt n1 = d – 1 _____ 2 . Hat Sophie Recht? 3.1 Binomische Formeln b ba a b 1 Billiarde = 10 2 ___ √ __ 2 = ? 0,0 __ 4 = __ G G G G Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs