29 8 In einem gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich lang. Geometrische Zusammenhänge lassen sich auch über die Eigenschaften der Symmetrieabbildungen in einem Abbildungsbeweis begründen. Schrittfolge: 1 Aufsuchen geeigneter Symmetrien in der Planfi gur 2 Nachweis der Symmetrie von Punkten, Strecken bzw. Geraden 3 Folgerung der Gleichheit von Maßen aus den Eigenschaften der Abbildung 4 Folgerung der Behauptung aus der Symmetrie 1 Planfi gur: Voraussetzung: Trapez ABCD ist gleichschenklig. ___ AB || ___ CD; b = d; α = β; γ = δ Behauptung: e = f Beweis: Betrachte ΔABC und ΔABD: a = a (gemeinsame Seitenlänge) α = β (Voraussetzung) b = d (Voraussetzung) Folglich ist ΔABC kongruent zu ΔABD (SWS-Satz) Kongruente Dreiecke stimmen in allen entsprechenden Stücken überein. Somit e = f 2 Planfi gur: Voraussetzung: Trapez ABCD ist gleichschenklig. Die gemeinsame Mittelsenkrechte der Grundseiten ist die Symmetrieachse s. Behauptung: e = f Beweis: Spiegelt man A an s, erhält man B. Spiegelt man C an s, erhält man D. Folglich erhält man ___ BD aus der Spiegelung von ___ AC an s. Es gilt ___ AC = ___ BD (Längentreue der Achsenspiegelung) Somit e = f A B C b c a fe D d A B C b c a f s e D d Verwende die Schritte Planfi gur, Voraussetzung, Behauptung, Beweis. Satz: „Die Endpunkte einer Strecke __ AB haben von einer durch ihren Mittelpunkt gehenden Geraden g AB jeweils den gleichen Abstand.“ Voraussetzung: 1. M ist Mittelpunkt von __ AB. 2. C, D, M, X g 3. AC g 4. BD g Behauptung: __ AC = __ BD Beweis: M ist Zentrum einer Punktspiegelung. … M g B D C A a) Vergleiche die Beweise: Welche Bedeutung haben … die kongruenten Dreiecke für 1 ? die Symmetrieabbildungen für 2 ? b) Identifi ziere die einzelnen Schritte eines Abbildungsbeweises in Darstellung 2 . 9 Beweise die folgenden Zusammenhänge mithilfe eines Abbildungsbeweises. a) Jedes Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln ist gleichschenklig. b) Die Mittelsenkrechte einer Kreissehne geht durch den Kreismittelpunkt. 10 Hier siehst du den Anfang eines Beweises. Vervollständige ihn in deinem Heft. Planfi gur: Nu r z ur P rü fzw ec ke n Ei ge nt um d s C .C . B uc hn er V er la gs