68 12 Bewegungen im Gravitationsfeld Abb. 12.4 E Hohmannbahn (Rot) eines Satelliten P zwischen den Planeten P1 und P2 Hohmannbahn P P1 P2 r2 r1A Sonne E Aufgaben 4 Ein Körper stürzt von weit außen kommend (wo er die Geschwindigkeit null relativ zur Erde hat) auf die Erdoberfläche. Welche Geschwindigkeit hat er dabei, wenn man die Reibung vernachlässigt? 5 Berechnen Sie die sogenannte 3. kosmische Geschwindigkeit, die ein Körper haben muss, damit er beim Start von der Erde aus unser Sonnensystem verlassen kann. a) Bestimmen Sie dazu zunächst die Geschwindigkeit, die der Körper dazu haben muss, wenn er von einem Punkt der Erdbahn aus startet. (42,0 km/s) b) Wie groß muss die Geschwindigkeit sein, wenn der Körper von dem Punkt der Erdbahn aus mit der Bahngeschwindigkeit der Erde in deren Bewegungsrichtung abgeschossen wird? (12,2 km/s) c) Zusätzlich zu der unter b) berechneten Geschwindigkeit muss die Rakete noch v2 = 11,2 km/s aufbringen, um das Schwerefeld der Erde zu verlassen. Zeigen Sie jetzt mithilfe eines Energieansatzes, dass die 3. kosmische Geschwindigkeit den Wert 16,6 km/s hat. 6 Ein Himmelskörper bewegt sich auf einer Ellipsenbahn mit der numerischen Exzentrizität ε um die Sonne (Masse mS). Im Perihel bzw. Aphel hat er die Geschwindigkeit vP bzw. vA. Zeigen Sie, dass für diese Geschwindigkeiten gilt: v G m a v G m aP S A S = + −     = − +    · · · · 1 1 1 1 ε ε ε ε  Berechnen Sie damit die Geschwindigkeiten, die der Komet Halley (a = 17,95 AE; ε = 0,9673) in seinem sonnennächsten bzw. sonnenfernsten Punkt hat. (54,6 km/s; 0,91 km/s) 12.3 Hohmannbahn Von den vielen interplanetaren Bahnen, also den Flugbahnen zwischen zwei Planeten, soll hier beispielhaft die sogenannte Hohmannbahn untersucht werden (Abb. 12.4). Zwei weitere Bahnen zeigt die Abb. 12.5. Die Hohmannbahn zeichnet sich vor anderen Bahnen dadurch aus, dass der Energieaufwand am geringsten ausfällt. Walter Hohmann (1880 – 1945) gilt als einer der Pioniere der Raumfahrt. Ermittelt werden soll also die Geschwindigkeit, auf die das Raumschiff beschleunigt werden muss, damit es den Zielplaneten erreicht, sowie die Flugzeit vom Startzum Zielplaneten. Vorausgesetzt wird u. a., dass die Planetenbahnen kreisförmig sind und in einer Ebene liegen. P1 sei der Startplanet, P2 der Zielplanet (r2 > r1), die Sonnenmasse sei mS, die Bahngeschwindigkeit von P1 betrage v1. v G m r r G m r1 1 1 1 2 1 = −     =S S· · · Die Geschwindigkeit des Raumfahrzeugs in P sei vP . v G m r r r v r r P S = − +     = + · · · 2 2 2 11 1 2 1 1 2 N u r zu P rü fz w e c k e n E ig e n t m d e s C .C . B u c h n e r V e rl a g s