31 Beispiele 2.1 Der Satz von Pythagoras Berechne jeweils zunächst die fehlende Seitenlänge und gib dann die Umfangslänge und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks an. a) a = 24 cm; b = 10 cm b) c = 10 cm; a = 8 cm Lösung: a) c2 = (24 cm)2 + (10 cm)2; b) a2 + b2 = c2; | – a2 c2 = 576 cm2 + 100 cm2; b2 = c2 – a2 = 100 cm2 – 64 cm2; c2 = 676 cm2; c > 0: b2 = 36 cm2; b > 0: c = 26 cm b = 6 cm U = 24 cm + 10 cm + 26 cm = 60 cm U = 8 cm + 6 cm + 10 cm = 24 cm A = 0,5 · 24 cm · 10 cm = 120 cm2 A = 0,5 · 8 cm · 6 cm = 24 cm2 Das Quadrat PYTH besitzt die Seitenlänge a (z. B. a = 5 cm). Ermittle die Länge d (jeder) seiner Diagonalen. Lösung: Das Dreieck PYT ist gleichschenklig und rechtwinklig; seine Hypotenuse ist [TP]. Also gilt d2 = a2 + a2; d2 = 2a2; d = a √ __ 2 (im Beispiel: d = 5 √ __ 2 cm 7,1 cm). Das gleichseitige Dreieck TRE besitzt die Seitenlänge b (z. B. b = 6 cm). Ermittle seine Höhe h und seinen Flächeninhalt A. Lösung: Die Höhe [EB] auf die Seite [TR] zerlegt das gleichseitige Dreieck in die beiden kongruenten rechtwinkligen Dreiecke BET und REB. Die Hypotenuse hat jeweils die Länge b; eine der Katheten besitzt die Länge b __ 2 , die andere die Länge h. Nach dem Satz von Pythagoras gilt: ( b __ 2 ) 2 + h2 = b2; | − ( b __ 2 ) 2 h2 = b2 − b 2 ___ 4 ; h2 = 3b 2 ____ 4 ; h > 0: h = b __ 2 √ __ 3 (im Beispiel: h = 6 __ 2 √ __ 3 cm = 3 √ __ 3 cm 5,2 cm); A = 1 __ 2 · b · h = 1 __ 2 · b · b __ 2 √ __ 3 = b 2 ___ 4 √ __ 3 (im Beispiel: A = 36 ___ 4 √ __ 3 cm2 = 9 √ __ 3 cm2 15,6 cm2) Konstruiere ein Quadrat mit einem Flächeninhalt von 13 cm2. Finde zwei Lösungswege und halte deine Überlegungen jeweils kurz schriftlich fest. Lösung: 1. Möglichkeit: 13 = 9 + 4 = 32 + 22; x2 = 32 + 22 ; x = √ ___ 13 Man konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Katheten 2 cm bzw. 3 cm lang sind. Nach dem Satz von Pythagoras hat dann die Hypotenuse dieses Dreiecks die Länge √ ___ 13 cm und das Quadrat über der Hypotenuse den Flächeninhalt 13 cm2. 2. Möglichkeit: 13 = 49 − 36 = 72 − 62; y2 = 72 − 62; y = √ ___ 13 Man konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck, dessen eine Kathete 6 cm und dessen Hypotenuse 7 cm lang ist. Nach dem Satz von Pythagoras hat dann die zweite Kathete dieses Dreiecks die Länge √ ___ 13 cm und das Quadrat über dieser Kathete den Flächeninhalt 13 cm2. Zwei der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind 15 cm bzw. 8 cm lang. Finde die Länge der dritten Seite heraus. Die Maßzahlen der drei Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks (Flächeninhalt 30 cm2) sind in der Einheit cm ganzzahlig. Wie lauten sie? A B Ka the te b Kathete a Hypotenuse c C d a a H T P Y h B b E T R b b ––– 2 13 cm2 2 cm 3 cm 13 cm2 7 cm 6 cm 13 cm 13 c m Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge tu m d es C .C . B uc hn er V er la gs