35 Aufgaben 2.2 Die Umkehrung des Satzes von Pythagoras b) y > x; y > z: x2 + z2 = (18 mm)2 + (30 mm)2 = 324 mm2 + 900 mm2 = 1 224 mm2; y2 = (38 mm)2 = 1 444 mm2 > 1 224 mm2: Wegen x2 + z2 < y2 ist das Dreieck nicht rechtwinklig (sondern stumpfwinklig). c) t > s = r s2 + r2 = (4 cm)2 + (4 cm)2 = 16 cm2 + 16 cm2 = 32 cm2; t2 = (5 cm)2 = 25 cm2 < 32 cm2: Wegen s2 + r2 > t2 ist das Dreieck nicht rechtwinklig (sondern spitzwinklig). Untersuche bei mindestens drei wahren mathematischen Sätzen, ob die zugehörigen Kehrsätze ebenfalls wahr sind. Erkläre den Unterschied zwischen den beiden Aussagen (1) „Alle Dreiecke mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm sind kongruent.“ (2) „Alle Dreiecke mit der Umfangslänge 12 cm sind kongruent.“ 1. Entscheide rechnerisch, welche der sechs Dreiecke rechtwinklig sind. Finde bei den nicht rechtwinkligen Dreiecken heraus, ob sie spitzoder stumpfwinklig sind. Ordne die rechtwinkligen Dreiecke nach zunehmendem Flächeninhalt, die nicht rechtwinkligen nach abnehmender Umfangslänge. 2. Lucas und Gregor möchten auf dem Sportplatz mithilfe eines Bandmaßes ein rechteckiges, 64 m langes und 48 m breites Spielfeld GAME abstecken. Finde heraus, welcher der vier Pfl öcke falsch gesetzt ist. 3. Im Einführungsbeispiel auf der vorhergehenden Seite wurde gezeigt, wie man mit einem geschlossenen (3 + 4 + 5 =) „12-Knoten-Seil“ und auch mit einem geschlossenen (5 + 12 + 13 =) „30-Knoten-Seil“ ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen kann. Sophie behauptet, dass man auch mit einem geschlossenen a) „36-Knoten-Seil“ b) „40-Knoten-Seil“ c) „56-Knoten-Seil“ ein rechtwinkliges Dreieck aufspannen kann. Hat Sophie Recht? 4. Zeichne jeweils ein Koordinatensystem und trage die Punkte A, S und T ein. Finde dann auf zwei verschiedene Arten heraus, ob das Dreieck AST rechtwinklig ist. a) A (10 | 3), S (0 | 8), T (6 | 0) b) A (8 | − 1), S (5 | 3), T (1 | 0) c) A (2 | 2), S (9 | 1), T (4 | 5) d) A (1 | − 1), S (5 | − 4), T (8 | 0) W1 When a number x is subtracted from 36 and the difference is divided by x the result is 2. Find x. W2 What is the least positive integer that is the value of the product of three different prime numbers greater than 2? W3 What is the slope m of the line g: 2x + 0,25y + 1 = 0? Lucas: „50% dieser sechs Dreiecke sind nicht rechtwinklig.“ Hat Lucas Recht? Seite a) b) c) d) e) f) a 9 cm 1 cm 6 cm 15 cm √ __ 7 cm 2,3 cm b 12 cm 8 mm 7 cm 16 cm 3 √ __ 2 cm 1,7 cm c 15 cm 6 mm 11 cm 8 cm 5 cm 2,9 cm Laura erinnert sich: ___ PQ = √ _________________ (xQ – xP ) 2 + (yQ – yP ) 2 x z y G rs t E M 64 mG A 48 m 80 m 82 m 4 8 m 0,25–2 = ? √ ______ 0,25–2 = ? 1,05 = % Nu zu P rü fzw ec ke n Ei ge nt um es C .C . B uc hn er V er la gs