37 5. Übertrage jede der beiden Tabellen in dein Heft und ergänze sie dann dort. a) a = 2x; b = x2 − 1; c = x2 + 1; x > 1 b) a= 2x + 1; b = 2x2 + 2x; c = 2x2 + 2x + 1 6. Weise für jeden der beiden obigen Formelsätze allgemein nach, dass a2 + b2 = c2 gilt. Pythagoreische Zahlenquadrupel Laura: „Es gibt auch vier natürliche Zahlen a, b, c und d, für die a2 + b2 + c2 = d2 gilt. So ist z. B. 12 + 22 + 22 = 9 = 32.“ Fasst man die Zahlen a, b und c als Maßzahlen der Kantenlängen eines Quaders auf, dann ist d die Maßzahl der Raumdiagonalenlänge dieses Quaders. Begründung: Da die Maßzahl der Diagonalenlänge eines Rechtecks, dessen Seitenlängen die Maßzahlen a bzw. b besitzen, nach dem Satz von Pythagoras gleich √ ______ a2 + b2 ist, gilt für die Maßzahl d der Länge der Raumdiagonalen eines Quaders, dessen Kantenlängen die Maßzahlen a, b bzw. c besitzen, (ebenfalls nach dem Satz von Pythagoras) d = √ __________ a2 + b2 + c2 . 7. Finde durch Überlegen und Probieren weitere pythagoreische Quadrupel, also natürliche Zahlen a, b, c und d, für die a2 + b2 + c2 = d2 gilt. Fasse jeweils a, b und c als Maßzahlen der Kantenlängen eines Quaders auf, wähle als Einheit cm und zeichne ein Schrägbild eines der Lösungsquader. Wahr oder falsch? Es gibt unendlich viele verschiedene pythagoreische Zahlentripel. In der Tabelle zu Aufgabe 1. ist stets eine der Zahlen jedes der pythagoreischen Zahlentripel durch 3 teilbar. In der Tabelle zu Aufgabe 1. ist stets eine der Zahlen jedes der pythagoreischen Zahlentripel durch 5 teilbar. Es gibt unendlich viele pythagoreische Zahlentripel, bei denen das Produkt der drei Zahlen ein Vielfaches von 60 ist. Pythagoreische Zahlentripel x 2 3 4 5 6 7 a 4 6 b 3 c 5 a2 + b2 25 c2 25 x 1 2 3 4 5 6 7 a 3 5 b 4 c 5 a2 + b2 25 c2 25 Gregor: Vier zusammengehörende Zahlen bilden ein Quadrupel. a b c a2 + b2 d = a 2 + b 2 + c 2 G Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C . B uc hn er V er la gs