392.3 Der Kathetensatz und der Höhensatz Konstruiere eine Strecke der Länge √ ___ 15 cm mithilfe des a) Kathetensatzes. b) Höhensatzes. c) Satzes von Pythagoras. Lösung: a) Überlegung: 15 = 5 · 3; a2 = c · p; hier: a2 = 5 cm · 3 cm Man konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge c = 5 cm und einem Hypotenusenabschnitt der Länge p = 3 cm. Die diesem Hypotenusenabschnitt anliegende Kathete hat die Länge √ ___ 15 cm. b) Überlegung: 15 = 5 · 3; h2 = p · q; hier: h2 = 5 cm · 3 cm Man konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck mit p = 5 cm bzw. q = 3 cm langen Hypotenusenabschnitten. Die Hypotenusenhöhe dieses Dreiecks hat die Länge √ ___ 15 cm. c) Überlegung: 15 = 16 – 1; a2 = c2 – b2; hier: a2 = (4 cm)2 – (1 cm)2 Man konstruiert ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenusenlänge c = 4 cm und einer Kathete der Länge b = 1 cm. Die zweite Kathete hat die Länge a = √ ___ 15 cm. Von einem bei C rechtwinkligen Dreieck ABC sind gegeben a) p = 1,8 cm; q = 3,2 cm. b) b = 6 cm; q = 2 cm. c) h = 8 cm; p = 6 cm. Berechne jeweils die Längen der fehlenden Dreiecksseiten und (auf zwei verschiedene Arten) den Flächeninhalt. Lösung: a) h2 = pq (Höhensatz); h2 = 1,8 cm · 3,2 cm = 5,76 cm2; h = 2,4 cm c = p + q = 1,8 cm + 3,2 cm = 5 cm a2 = cp (Kathetensatz); a2 = 5 cm · 1,8 cm = 9 cm2; a = 3 cm b2 = c2 – a2 (Satz von Pythagoras); b2 = (5 cm)2 – (3 cm)2 = 16 cm2; b = 4 cm A = 1 __ 2 · 3 cm · 4 cm = 6 cm2 oder A = 1 __ 2 · 5 cm · 2,4 cm = 6 cm2 b) b2 = cq (Kathetensatz); c = b 2 ___ q = 36 cm2 ______ 2 cm = 18 cm p = c – q = 18 cm – 2 cm = 16 cm a2 = cp (Kathetensatz); a2 = 18 cm · 16 cm = 288 cm2; a = 12 √ __ 2 cm h2 = pq (Höhensatz); h2 = 16 cm · 2 cm = 32 cm2; h = 4 √ __ 2 cm A = 1 __ 2 · 12 √ __ 2 cm · 6 cm = 36 √ __ 2 cm2 oder A = 1 __ 2 · 18 cm · 4 √ __ 2 cm = 36 √ __ 2 cm2 A B 5 cm C 3 cm 15 cm A B C 3 cm 5 cm 15 c m Laura erinnert sich: In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt A = 1 __ 2 ab = 1 __ 2 ch. A B C 4 cm 1 cm 15 cm Beispiele Laura: Bei der Konstruktion des rechtwinkligen Dreiecks habe ich den Thaleskreis verwendet. A b q p h c a B C Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt u d es C. C. B uc hn er V er la gs