Relationen und Funktionen 23 Stelle folgende Produktmengen grafi sch dar. a) [1; 4,5] [–2; 4] b) {–1; 0; 1; 2} [–1; 2] c) [–2; 2] [1; 3] d) {1} [0; 2] e) f) 24 Gegeben sind die Relationen R1 und R2. R1 = {(–3 | 5); (–2 | 5,5); (–1 | 5); (0 | 4,5); (1 | 4)} R2 = {(2 | 4); (2 | 3); (2 | 0); (2 | –1); (2 | –3)} a) Bestimme jeweils und . b) Bestimme jeweils die Umkehrrelation. c) Gib an, welche der Relationen R1, R2, R 1 –1 , R 2 –1 Funktionen sind. Begründe. Alle geordneten Paare (x | y) mit x X M1 und y X M2 bilden die Produktmenge M1 M2. Beispiel: M1 = {a; b} M2 = {0; 2} M1 M2 = {(a | 0); (a | 2); (b | 0); (b | 2)} Eine Relationsvorschrift legt zwischen zwei Mengen M1 und M2 eine Relation R fest. Diese stellt eine Teilmenge der Produktmenge M1 M2 dar. Die Defi nitionsmenge wird aus der Menge aller ersten Komponenten der Zahlenpaare einer Relation gebildet, die Wertemenge aus der Menge aller zweiten Komponenten. Lineare Funktionen 25 Gib die Funktions gleichungen der abgebildeten Geraden an. 26 Die Gerade g = AB hat die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t. Bestimme die Gleichung der Gerade in Normalform. Überprüfe zeichnerisch. a) A (–2 | –4); B (0,5 | 2,5) b) t = 2; A (1 | –3) c) m = –0,5; B (–2 | 3,5) d) m = – 1 __ 3 ; t = –1 Lineare Funktionen lassen sich durch eine Gleichung folgender Form („Normalform“) beschreiben: y = mx + t (m, t X ) Steigung y-Achsenabschnitt Ihre Graphen sind Geraden. Die Steigung m einer Gerade lässt sich als Quotient der Koordinatendifferenzen zweier Geradenpunkte P1 (x1 | y1) und P2 (x2 | y2) mit x1 ≠ x2 berechnen: m = y2 – y1 _____x2 – x1 = Δy ___ Δx Weitere Darstellungsformen einer linearen Funktion: • allgemeine Geradengleichung: g: ax + by + c = 0 a, c X ; b X \ {0} • Punkt-Steigungs-Form: g: y = m (x – xP ) + yP mit P (xP | yP) X g; m X Besondere Eigenschaften bei linearen Funktionen 27 Zeige rechnerisch, dass das Viereck ABCD mit A (–3 | 0), B (0 | 1), C (–1 | 4) und D (–4 | 3) ein Quadrat ist. 28 Zeichne das Geradenbüschel g (m): y = mx + 3 für m X {–2; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 2}. Welche der Geraden stehen senkrecht aufeinander? 29 Unter den Geraden der Parallelenschar g (t): y = 2x + t ist eine, die durch P (2|–5) geht. Bestimme deren Gleichung und ihre Nullstelle. Bei zueinander senkrechten Geraden g1 und g2 gilt für das Produkt der Steigungen: m1 · m2 = –1 Geraden, die die gleiche Steigung m0 X , aber unterschiedliche y-Achsenabschnitte t X besitzen, bilden eine Parallelenschar g (t) mit y = m0x + t. Alle Geraden, die durch einen bestimmten Punkt B (xB | yB) verlaufen, bilden ein Geradenbüschel g (m) mit y = m · (x – xB) + yB und m X . 1 –1 –2 1 2 a d b c –3 –2 –1 2 3 x y 11 Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs