245 2 Berechne den Radius und den Durchmesser der Kugel. a) V = 14 137 cm3 b) V = 3054 mm3 c) V = 82,5 m3 d) V = 51 l e) V = 5000 m3 f) V = 12 000 dm3 g) V = 137 hl h) V = 12 450 l 3 Gasometer werden häufi g kugelförmig gebaut. Die abgebildeten Gasometer haben einen Durchmesser von 40 m. Berechne das Volumen von zehn solchen Gasometern. 4 In eine halbkugelförmige Schüssel passen 1,5 l Wasser, wenn man sie bis zum Rand füllt. Berechne den Innendurchmesser dieser Schüssel. Lösungen zu 2: (nur Radius) 15,0; 3,2; 2,7; 2,3; 9,0; 14,2; 14,4; 10,6; Kugelvolumen mit Cavalieri Man kann die Volumenformel für Kugeln auch mithilfe des Prinzips von Cavalieri (siehe Seite 239) herleiten. Man vergleicht dazu das Volumen einer Halbkugel (Radius r) mit dem eines Zylinders (Radius und Höhe jeweils r), aus dem ein Kegel ausgefräst wird. Halbkugel Vergleichskörper Die beiden Körper werden parallel zur jeweiligen Grundfl äche in beliebiger Höhe h geschnitten. Als Schnittfl äche entsteht … eine Kreisfl äche mit dem Radius s. ein Kreisring mit den Radien r und h. AKreisfl äche = π · s2 = π · (r2 – h2) AKreisring = π · r2 – π · h2 = π · (r2 – h2) Somit gilt: AKreisfl äche = AKreisring Da die Bedingungen des Prinzips von Cavalieri erfüllt sind, haben die beiden Körper das gleiche Volumen: VHalbkugel = VVergleichskörper VVergleichskörper können wir nun sehr einfach berechnen: VVergleichskörper = VZylinder – VKegel = π · r2 · h – 1 __ 3 π · r 2 · h; mit h = r folgt: VVergleichskörper = π · r2 · r – 1 __ 3 π · r 2 · r = π · r3 · – 1 __ 3 π · r 3 = 2 __ 3 π · r 3 = VHalbkugel Das Volumen der Vollkugel: VVollkugel = 2 · VHalbkugel = 2 · 2 __ 3 π · r 3 = 4 __ 3 π · r 3 • Erkläre das Prinzip des Cavalieri anhand eines Quaders und eines schiefen Prismas. • Beschreibe die obige Herleitung des Kugelvolumens mit eigenen Worten. r r s r r h h h h h h h r – h r r r r rr s A Kreisring A Kreisfläche Nu r z u Pr üf zw ec ke n Ei ge nt um d es C .C .B uc hn er V er la gs