249 1 Ein gerader Kreiskegel hat einen Grundkreisradius von r = 4 cm und eine Mantellinie der Länge s = 10,4 cm. a) Berechne die Höhe h des Kegels. b) Berechne das Maß des Mittelpunktswinkels der Abwicklung des Kegelmantels. c) Dem Kegel werden gerade Kreiszylinder mit dem Radius r = x cm und der Höhe h = y cm einbeschrieben. Zeichne den Axialschnitt von Kegel und Zylinder mit x = 2,5 und gib die Defi nitionsmenge für x und y an. d) Bestimme den Inhalt der Mantelfl äche des Zylinders in Abhängig keit von x. e) Für welchen Wert von x erhält man den maximalen Inhalt der Zylindermantelfl äche? 2 Die Grundfl äche der geraden Pyramide ABCDS ist ein Quadrat mit der Kantenlänge a = 7 cm. Die Pyramidenhöhe beträgt 14 cm. Parallelebenen im Abstand x zur Grundfl äche ABCD schneiden die Kanten der Pyramide in den Punkten An, Bn, Cn und Dn. a) Aus welchem Intervall darf man x wählen? b) Zeichne ein Schrägbild mit q = 0,5; ω = 45° und Schrägbildachse AB. c) Es entstehen neue, einbeschriebene Pyramiden AnBnCnDnF, wenn die Punkte An, Bn, Cn und Dn mit dem Höhenfußpunkt F der Pyramide ABCDS verbunden werden. Zeichne die Pyramide A1B1C1D1F für x = 3,5 in b) ein. d) Stelle das Volumen der einbeschriebenen Pyramiden in Abhängigkeit von x dar und bestimme das Volumen der Pyramide A1B1C1D1F. 3 Einer Kugel mit dem Radius 5 cm ist ein Zylinder mit dem Radius r = x cm (0 x 5) einbeschrieben. a) Berechne die Höhe des Zylinders in Abhängigkeit von x. b) Berechne das Zylindervolumen in Abhängigkeit von x. c) Tabellarisiere V (x) für x X [0; 5[ mit Δx = 0,5 und zeichne den Graphen. d) Bestimme mithilfe des Graphen den Wert für x, für den das Volumen maximal wird. Gib Vmax an. e) Überprüfe Vmax rechnerisch. 4 Einem geraden Kegel (rK = 5 cm und s = 13 cm) werden Kreiszylinder (rZ = x cm und hZ = y cm) einbeschrieben. Zu jedem Zylinder gibt es eine Kugel, die sowohl die Deckfl äche des Zylinders von oben als auch den Kegelmantel von innen berührt. a) Gib die Defi nitionsmenge für x und die Wertemenge y an und zeichne einen Axialschnitt für x = 3. b) Vergleiche die Volumina der drei Körper für x = 3. c) Stelle den Mantelfl ächeninhalt M (x) der Zylinder in Abhängigkeit von x dar. d) Entscheide durch Rechnung, ob es einen einbeschriebenen Zylinder mit einer Oberfl äche von 60π cm2 gibt. Lösungen zu 1 a) und d) h = 9,6 cm M (x) = –4,8π (x2 – 4x) cm2 Lösung zu 3 b): V (x) = 2πx2 · √ ______ 25 – x2 cm3 Lösung zu 4 c): M (x) = π (–4,8x2 + 24x) cm2 B C A D F S A n B n C n D n Nu r z u rü fzw ec ke n Ei ge nt um d es C. C. Bu ch ne r V er la gs