33 D CG H E F A B 10 Zwei je 12 m breite Straßen schneiden sich unter einem Winkel von 60°. Wo müssen vier Straßenlaternen stehen, wenn sie 3 m Abstand von jeder Straße haben sollen? Zeichne im Maßstab 1 : 300. 11 a) Umfangsund Mittelpunktswinkel über demselben Kreisbogen betragen zusammen 270°. Berechne die Maße der jeweiligen Winkel. b) Der Mittelpunktswinkel ist um 40° größer als der zugehörige Umfangswinkel. Wie groß sind beide? 12 1 M (2 | 4); P (3 | 1); Q (7 | 6) 2 M (–5 | 0,5); P (–2 |2); Q (1 | 1) a) Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r = ___ MP in ein Koordinatensystem. Konstruiere die Tangenten an den Kreis durch P und Q. b) Konstruiere die Tangente an den Kreis aus a), die parallel zur Tangente in P verläuft. 13 Eine (als Punkt angenommene) Glühlampe G beleuchtet eine Kugel k mit Mittelpunkt M. Diese hinterlässt auf einer Leinwand l einen kreisförmigen Schatten. Bestimme anhand einer Zeichnung mit den folgenden Angaben den Durchmesser des Schattens: ___ GM = 8 cm; d (M; l) = 4 cm r = 2 cm; l GM 14 Liegen zwei Punkte auf den Schenkeln eines Winkels in gleicher Entfernung vom Scheitel, dann sind sie von jedem Punkt P der Winkelhalbierenden gleich weit entfernt. a) Beweise den geometrischen Zusammenhang. Übertrage die Skizze in dein Heft und nutze sie als Planfi gur. b) Warum hast du mit dem Beweis gezeigt, dass der Zusammenhang für jeden Punkt P gilt, obwohl du nur einen Punkt P gewählt hast? Erkläre. 15 Beweise den folgenden Satz. Erweitere die Skizze zu einer Planfi gur. Wenn M der Mittelpunkt zweier sich schneidender Strecken ___ AC und ___ BD ist, dann sind ___ AB und ___ CD gleich lang. 16 Beweise: In einem gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich lang. 17 Beweise mithilfe eines … a) Abbildungsbeweises. b) Kongruenzbeweises. Wenn man in einem Parallelogramm ABCD von allen Eckpunkten aus gleich lange Strecken auf den Parallelogrammseiten im gleichen Umlaufsinn abträgt, dann entsteht durch die neuen Punkte wieder ein Parallelogramm. r k M l G Ergänze die geeigneten Teildreiecke d(M; l) bedeutet Abstand von M zu l B A Pα wαS M CA D B Nu r z ur P rü fzw ec ke n Ei g nt um s C .C . B uc hn er V er la gs