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Entdecken Verstehen Untersuche die Zusammenhänge an einem Dreieck mit einem Geometrieprogramm. Mittelsenkrechte im Dreieck ▪▪ Zeichne ein Dreieck ABC. Markiere mit dem Werkzeug die Mittelsenkrechte der Seiten a und b. Markiere den Schnittpunkt M beider Mittelsenkrechten mit . Ziehe beliebig am Eckpunkt C. Beschreibe deine Beobachtung. ▪▪ Zeichne einen Kreis um M durch A. Ziehe beliebig an den Eckpunkten des Dreiecks. Was beobachtest du? Winkelhalbierende im Dreieck ▪▪ Zeichne ein Dreieck ABC. Markiere mit dem Werkzeug die Winkelhalbierenden von α und β. Markiere den Schnittpunkt M beider Winkelhalbierenden mit . Ziehe beliebig am Eckpunkt C. Beschreibe deine Beobachtung. ▪▪ Zeichne den Abstand von M zu einer Dreiecks seite, indem du die Senkrechte durch M zu dieser Seite zeichnest. Markiere den Schnittpunkt S der Senkrechten mit der Seite. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius ___ MS. Ziehe an einem Eckpunkt des Dreiecks. Was beobachtest du? C B A M ab α__ 2 __β 2 __β 2 α__ 2 C B A M Sowohl die Mittelsenkrechten als auch die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich. Beispiele 1. Bestimme zeichnerisch den Ort, der von den Seiten eines Dreiecks jeweils den glei chen Abstand besitzt. Welchen besonderen Punkt erhält man? Lösung: Man erhält den Inkreismittelpunkt Mi des Dreiecks. Die drei Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt Mu. Dieser Punkt ist von den drei Eckpunkten jeweils gleich weit entfernt und somit der Mittelpunkt des Umkreises: ____ MuA = ____ MuB = ____ MuC = ru (ru : Umkreisradius) Die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt Mi . Dieser Punkt hat von den Dreiecks seiten jeweils den gleichen Abstand und ist somit der Mittelpunkt des Inkreises: d (Mi ; ___ AB) = d (Mi ; ___ BC) = d (Mi ; ___ CA) = ri (ri : Inkreisradius) Mu Mi ri wα wβ wγ ru m__CA m__AB m__BC A A B C B C Der Umkreisradius ist die Entfernung des Schnittpunktes Mu der Mittelsenkrechten von den Eckpunkten des Dreiecks. Der Inkreisradius ist der Abstand des Schnitt punktes Mi der Winkel halbierenden von den Dreiecksseiten. A C b a c B ri Mi wα wβ wγ 4.3 Besondere Punkte und Linien im Dreieck 138 4

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Entdecken Verstehen Untersuche die Zusammenhänge an einem Dreieck mit einem Geometrieprogramm. Mittelsenkrechte im Dreieck ▪▪ Zeichne ein Dreieck ABC. Markiere mit dem Werkzeug die Mittelsenkrechte der Seiten a und b. Markiere den Schnittpunkt M beider Mittelsenkrechten mit . Ziehe beliebig am Eckpunkt C. Beschreibe deine Beobachtung. ▪▪ Zeichne einen Kreis um M durch A. Ziehe beliebig an den Eckpunkten des Dreiecks. Was beobachtest du? Winkelhalbierende im Dreieck ▪▪ Zeichne ein Dreieck ABC. Markiere mit dem Werkzeug die Winkelhalbierenden von α und β. Markiere den Schnittpunkt M beider Winkelhalbierenden mit . Ziehe beliebig am Eckpunkt C. Beschreibe deine Beobachtung. ▪▪ Zeichne den Abstand von M zu einer Dreiecks seite, indem du die Senkrechte durch M zu dieser Seite zeichnest. Markiere den Schnittpunkt S der Senkrechten mit der Seite. Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt M und Radius ___ MS. Ziehe an einem Eckpunkt des Dreiecks. Was beobachtest du? C B A M ab α__ 2 __β 2 __β 2 α__ 2 C B A M Sowohl die Mittelsenkrechten als auch die Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich. Beispiele 1. Bestimme zeichnerisch den Ort, der von den Seiten eines Dreiecks jeweils den glei chen Abstand besitzt. Welchen besonderen Punkt erhält man? Lösung: Man erhält den Inkreismittelpunkt Mi des Dreiecks. Die drei Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt Mu. Dieser Punkt ist von den drei Eckpunkten jeweils gleich weit entfernt und somit der Mittelpunkt des Umkreises: ____ MuA = ____ MuB = ____ MuC = ru (ru : Umkreisradius) Die drei Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich stets in einem Punkt Mi . Dieser Punkt hat von den Dreiecks seiten jeweils den gleichen Abstand und ist somit der Mittelpunkt des Inkreises: d (Mi ; ___ AB) = d (Mi ; ___ BC) = d (Mi ; ___ CA) = ri (ri : Inkreisradius) Mu Mi ri wα wβ wγ ru m__CA m__AB m__BC A A B C B C Der Umkreisradius ist die Entfernung des Schnittpunktes Mu der Mittelsenkrechten von den Eckpunkten des Dreiecks. Der Inkreisradius ist der Abstand des Schnitt punktes Mi der Winkel halbierenden von den Dreiecksseiten. A C b a c B ri Mi wα wβ wγ 4.3 Besondere Punkte und Linien im Dreieck 138 4
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