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Entdecken 64° M A B CErstelle mit einem Geometrieprogramm folgende Ausgangsfigur: ▪▪ Zeichne eine beliebige Strecke ___ AB. ▪▪ Markiere mithilfe der Mittelpunktsfunktion den Mittelpunkt M von ___ AB und zeichne den Kreis um M mit Radius ___ MA. ▪▪ Erstelle einen beliebigen Punkt C außerhalb des Kreises und verbinde ihn mit Strecken zu A und B. Miss mithilfe der Win kelmessung das Maß des Winkels in C. ▪▪ Bewege den Punkt C mit dem Zugmodus und beobachte das Maß des Winkels in C. Beschreibe deine Beobachtung, indem du anhand der Lage von C verschiedene Dreiecks arten unterscheidest. Statt mit einem Geo metrieprogramm kannst du die Aufgabe auch mit Zirkel und Lineal auf einem Papier bearbeiten. Verstehen Rechtwinklige Dreiecke kann man mithilfe eines besonderen Kreises erhalten. Beispiel Zeichne ein Dreieck ABC mit c = 5 cm, a = 3 cm und γ = 90°. Beschreibe die Konstruktion. Lösung: Beschreibung: 1. Zeichne die Seite c mit den Endpunkten A und B. 2. Markiere den Mittelpunkt M der Seite c. Zeichne einen Kreis um M mit Radius 1 __ 2 c = 2,5 cm (bzw. Radius ___ MA). 3. Zeichne einen Kreis um B mit Radius a = 3 cm. Der obere Schnittpunkt beider Kreise liefert C. Aufgrund des Satzes von Thales ist γ = 90°. Satz des Thales Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis („Thaleskreis“) über der Strecke ___ AB (C ∉ ___ AB), dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel. Die Umkehrung gilt auch: Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser ___ AB. B C A M Oftmals genügt es, einen Halbkreis als Thaleskreis zu zeichnen, und nicht den Vollkreis. A C b c a BM Einer der beiden Schnittpunkte der bei den Kreise entfällt, da das Dreieck ABC in mathematisch positiver Richtung benannt wird. Nachgefragt Aufgaben ▪▪ Begründe mithilfe des Satzes von Thales, dass jedes Rechteck einen Umkreis hat. ▪▪ Richtig oder falsch? Wenn man auf einem Kreis drei beliebige Punkte miteinander verbindet, erhält man stets ein rechtwinkliges Dreieck. Begründe. Zeichne mithilfe des Thaleskreises ein rechtwinkliges Dreieck ABC in dein Heft, das die folgenden Eigenschaften erfüllt. a) c = 6 cm; a = 4 cm; γ = 90° b) ___ AB = 9 cm; b = 7 cm; γ = 90° c) c = 8 cm; α = 40°; γ = 90° d) ___ AB = 7 cm; β = 20°; γ = 90° e) a = 10 cm; b = 6,5 cm; α = 90° f) c = 4,5 cm; b = 7 cm; β = 90° 1 4.5 Satz des Thales 144 4

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Entdecken 64° M A B CErstelle mit einem Geometrieprogramm folgende Ausgangsfigur: ▪▪ Zeichne eine beliebige Strecke ___ AB. ▪▪ Markiere mithilfe der Mittelpunktsfunktion den Mittelpunkt M von ___ AB und zeichne den Kreis um M mit Radius ___ MA. ▪▪ Erstelle einen beliebigen Punkt C außerhalb des Kreises und verbinde ihn mit Strecken zu A und B. Miss mithilfe der Win kelmessung das Maß des Winkels in C. ▪▪ Bewege den Punkt C mit dem Zugmodus und beobachte das Maß des Winkels in C. Beschreibe deine Beobachtung, indem du anhand der Lage von C verschiedene Dreiecks arten unterscheidest. Statt mit einem Geo metrieprogramm kannst du die Aufgabe auch mit Zirkel und Lineal auf einem Papier bearbeiten. Verstehen Rechtwinklige Dreiecke kann man mithilfe eines besonderen Kreises erhalten. Beispiel Zeichne ein Dreieck ABC mit c = 5 cm, a = 3 cm und γ = 90°. Beschreibe die Konstruktion. Lösung: Beschreibung: 1. Zeichne die Seite c mit den Endpunkten A und B. 2. Markiere den Mittelpunkt M der Seite c. Zeichne einen Kreis um M mit Radius 1 __ 2 c = 2,5 cm (bzw. Radius ___ MA). 3. Zeichne einen Kreis um B mit Radius a = 3 cm. Der obere Schnittpunkt beider Kreise liefert C. Aufgrund des Satzes von Thales ist γ = 90°. Satz des Thales Liegt der Punkt C eines Dreiecks ABC auf einem Halbkreis („Thaleskreis“) über der Strecke ___ AB (C ∉ ___ AB), dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel. Die Umkehrung gilt auch: Hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel, so liegt C auf einem Kreis mit dem Durchmesser ___ AB. B C A M Oftmals genügt es, einen Halbkreis als Thaleskreis zu zeichnen, und nicht den Vollkreis. A C b c a BM Einer der beiden Schnittpunkte der bei den Kreise entfällt, da das Dreieck ABC in mathematisch positiver Richtung benannt wird. Nachgefragt Aufgaben ▪▪ Begründe mithilfe des Satzes von Thales, dass jedes Rechteck einen Umkreis hat. ▪▪ Richtig oder falsch? Wenn man auf einem Kreis drei beliebige Punkte miteinander verbindet, erhält man stets ein rechtwinkliges Dreieck. Begründe. Zeichne mithilfe des Thaleskreises ein rechtwinkliges Dreieck ABC in dein Heft, das die folgenden Eigenschaften erfüllt. a) c = 6 cm; a = 4 cm; γ = 90° b) ___ AB = 9 cm; b = 7 cm; γ = 90° c) c = 8 cm; α = 40°; γ = 90° d) ___ AB = 7 cm; β = 20°; γ = 90° e) a = 10 cm; b = 6,5 cm; α = 90° f) c = 4,5 cm; b = 7 cm; β = 90° 1 4.5 Satz des Thales 144 4
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