Abimaps Nordrhein-Westfalen Abitur 2017 d) Jedes Überraschungsei eines Herstellers enthält entweder eine Figur oder keine Figur. Die Anzahl der Überraschungseier mit einer Figur innerhalb einer Stichprobe ist binomialverteilt mit p = 0,25. pro Ei nur zwei mögliche Ausgänge: Treffer oder Niete (1)2P Zehn Überraschungseier werden nacheinander zufällig ausgewählt. Geben Sie einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür an, keine schriftliche Rechnung nötig! dass in genau zwei Überraschungseiern jeweils eine Figur enthalten ist. n = 10 Einzelversuche, jeweils mit Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,25 „genau“: Bernoulli-Formel anwenden (bei nicht zu großen Zahlen) „höchstens“: direkt aus kumulierter Verteilungstabelle ablesen „mindestens“: Gegenwahrscheinlichkeit ablesen BERNOULLI-FORMEL: Abi120 Bernoulli-Formel: P(X = k) = (n k ) pk(1− p)n−k mit k = Anzahl Treffer, n = Anzahl Versuche, p = Trefferwahrscheinlichkeit Lösung:( 10 2 ) · 0,252 · 0,758 (2)4P Sechs Überraschungseier werden zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viele dieser Überraschungseier eine Figur enthalten. Eine der folgenden Abbildungen stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsgröße X dar: 0 1 2 3 4 5 6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 k P(X = k) I 0 1 2 3 4 5 6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 k P(X = k) II 0 1 2 3 4 5 6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 k P(X = k) III Geben Sie an, welche Abbildung dies ist. Begründen Sie, dass die beiden anderen Abbildungen dies nicht sind. Merkmale einer Binomialverteilung: Für n > 1 sind die Einzelwahrscheinlichkeiten nie alle gleich. Die Wahrscheinlichkeit ist am größten für Trefferzahlen k, die unmittelbar an den Erwartungswert E(X) = n · p angrenzen. Passende Abbildung angeben: Abbildung I zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an. X hat die Parameter n = 6 und p = 0,25, also E(X) = 6 · 0,25 = 1,5. Die Balken für k = 1 und k = 2 müssen also die höchsten sein. Ausschlusskriterien für die anderen Abbildungen: Abbildung II zeigt eine Gleichverteilung, gehört also nicht zu X. ERWARTUNGSWERT: Abi126 Bei Abbildung III ist die größte Wahrscheinlichkeit bei k = 5, wohingegen X den Erwartungswert 6 · 0,25 = 1,5 hat und daher die höchsten Wahrscheinlichkeiten bei k = 1 und k = 2 aufweist. Also scheidet auch Abbildung III aus. 13 Nu r z u Pr üf zw ec k Ei ge nt um es C .C .B uc hn er V er la gs